齐次线性方程组系数矩阵的秩与解集的秩

设有齐次线性方程组
{a11x1+a12x2+⋯a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯a2nxn=0⋯am1x1+am2x2+⋯amnxn=0(1)\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots a_{1n} x_n = 0 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots a_{2n} x_n = 0 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots a_{mn} x_n = 0 \end{cases} \tag{1} ⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯a2nxn=0⋯am1x1+am2x2+⋯amnxn=0(1)
记系数矩阵
A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn),x=(x1x2⋮xn)\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}, \hspace{1em} \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} A=⎝⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn⎠⎞,x=⎝⎛x1x2⋮xn⎠⎞
定理　设 m×nm \times nm×n 矩阵 A\boldsymbol{A}A 的秩 R(A)=rR(\boldsymbol{A}) = rR(A)=r，则 nnn 元齐次线性方程组 Ax=0\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0 的解集 SSS 的秩 RS=n−rR_S = n - rRS=n−r。

证明　设方程组 (1)(1)(1) 的系数矩阵 A\boldsymbol{A}A 的秩为 rrr，并不妨设 A\boldsymbol{A}A 的前 rrr 个列向量线性无关，于是 A\boldsymbol{A}A 的行最简形矩阵为
B=(1⋯0b11⋯b1,n−r⋮⋮⋮⋮0⋯1br1⋯br,n−r0⋯0⋮⋮0⋯0)\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1,n-r} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & b_{r1} & \cdots & b_{r,n-r} \\ 0 & & & \cdots & & 0 \\ \vdots & & & & & \vdots \\ 0 & & & \cdots & & 0 \\ \end{pmatrix} B=⎝⎛1⋮00⋮0⋯⋯0⋮1b11⋮br1⋯⋯⋯⋯b1,n−r⋮br,n−r0⋮0⎠⎞
与 B\boldsymbol{B}B 对应，即有方程组
{x1=−b11xr+1−⋯−b1,n−rxn,⋯xr=−br1xr+1−⋯−br,n−rxn,\left\{ \begin{align*} & x_1 = - b_{11} x_{r+1} - \cdots - b_{1,n-r} x_n, \\ & \cdots \\ & x_r = - b_{r1} x_{r+1} - \cdots - b_{r,n-r} x_n, \\ \end{align*} \right. ⎩⎨⎧x1=−b11xr+1−⋯−b1,n−rxn,⋯xr=−br1xr+1−⋯−br,n−rxn,
把 xr+1,⋯,xnx_{r+1},\cdots,x_{n}xr+1,⋯,xn 作为自由未知数，并令它们依次等于 c1,⋯,cn−rc_1,\cdots,c_{n-r}c1,⋯,cn−r，可得方程组 (1)(1)(1) 的通解
(x1⋮xrxr+1xr+2⋮xn)=c1(−b11⋮−br110⋮0)+c2(−b12⋮−br201⋮0)+⋯+cn−r(−b1,n−r⋮−br,n−r00⋮1)\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_r \\ x_{r+1} \\ x_{r+2} \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} -b_{11} \\ \vdots \\ -b_{r1} \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -b_{12} \\ \vdots \\ -b_{r2} \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + c_{n-r} \begin{pmatrix} -b_{1,n-r} \\ \vdots \\ -b_{r,n-r} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} ⎝⎛x1⋮xrxr+1xr+2⋮xn⎠⎞=c1⎝⎛−b11⋮−br110⋮0⎠⎞+c2⎝⎛−b12⋮−br201⋮0⎠⎞+⋯+cn−r⎝⎛−b1,n−r⋮−br,n−r00⋮1⎠⎞
把上式记作
x=c1ξ1+c2ξ2+⋯cn−rξn−r\boldsymbol{x} = c_1 \boldsymbol{\xi}_1 + c_2 \boldsymbol{\xi}_2 + \cdots c_{n-r} \boldsymbol{\xi}_{n-r} x=c1ξ1+c2ξ2+⋯cn−rξn−r
可知解集 SSS 中的任一向量 x\boldsymbol{x}x 能由 ξ1,ξ2,⋯,ξn−r\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r}ξ1,ξ2,⋯,ξn−r 线性表示，又因为矩阵 (ξ1,ξ2,⋯,ξn−r)(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r})(ξ1,ξ2,⋯,ξn−r) 中有 n−rn-rn−r 阶子式 ∣En−r∣≠0|\boldsymbol{E}_{n-r}| \ne 0∣En−r∣=0（第 r+1r+1r+1 行到第 nnn 行为 n−rn-rn−r 阶单位矩阵），所以 R(ξ1,ξ2,⋯,ξn−r)=n−rR(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r}) = n - rR(ξ1,ξ2,⋯,ξn−r)=n−r，即 ξ1,ξ2,⋯,ξn−r\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r}ξ1,ξ2,⋯,ξn−r 线性无关。得证。

根据最大无关组的等价定义，可知 ξ1,ξ2,⋯,ξn−r\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r}ξ1,ξ2,⋯,ξn−r 是解集 SSS 的最大无关组，即 ξ1,ξ2,⋯,ξn−r\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r}ξ1,ξ2,⋯,ξn−r 是方程组 (1)(1)(1) 的基础解系。

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