简介

Newton-Cotes 公式在构造时，限定积分区间的等分点作为求积节点，这样做在简化处理的同时也限制了代数精度。如果求积节点也可自由选择，即机械求积公式：
∫abf(x)dx≈(b−a)∑i=0nλif(xi)\ \int_a^b{f\left( x \right) dx\approx \left( b-a \right) \sum_{i=0}^n{\lambda _if\left( x_i \right)}} ∫abf(x)dx≈(b−a)i=0∑nλif(xi)
中的 λi,xiλ_i, x_iλi,xi共 2n + 2 个均为待定参数，适当选取这些参数可以使公式具有 2n + 1 次代数精度。这种高精度的求积公式称为Gauss 公式。

参数选择

代码

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
double a,b;
double g[3][3]={{0},{-1/sqrt(3.0),-1/sqrt(3.0)},{-sqrt(3.0/5.0),0,sqrt(3.0/5.0)}};
double m[3][3]={{1},{0.5,0.5},{5.0/18.0,4.0/9.0,5.0/18.0}};double f(double x){return x*x ;
} double guassi( int n)
{double re = 0;double x = (a+b)/2.0, y = (b-a)/2.0;for(int i=0;i<n;i++){re += m[n-1][i] * f( x + y*g[n-1][i] );
//      cout<<f( x + y*g[n-1][i] )<<endl;
//      cout<<re<<endl;}return re*(b-a);
}int main()
{int n;cout<<"输入要积分的点的个数"<<endl;cin>>n;cout<<"输入积分区间"<<endl;cin>>a>>b;  double re = guassi( n);cout<<"结果是："<<re<<endl;  return 0;
}

结果是（默认函数为f(x)=x×xf(x) = x\times xf(x)=x×x）：

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