方格取数问题（网络流24题之一）

方格取数

题目描述

在一个有 m*n 个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任意 2 个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。对于给定的方格棋盘，按照取数要求编程找出总和最大的数。

输入输出格式

输入格式：

第 1 行有 2 个正整数 m 和 n，分别表示棋盘的行数和列数。接下来的 m 行，每行有 n 个正整数，表示棋盘方格中的数。

输出格式：

程序运行结束时，将取数的最大总和输出

题目链接

这道题的题意还是比较好理解的，就是不能取相邻的两个数，使所有取出来的数的总和最大。。

嗯，先不要急着想搜索、暴力或贪心（虽然有可能可以过，如果可以，欢迎指教），这题可是出自网络流24题的呀。

所以肯定是用网络流我们也可以用网络流来做。

首先，也是最关键的，这题如何建图？

我们可以这样想：

把格子染成黑白两色，形如下图：有点丑。。好吧，不止一点

其实黑白两色也可以反过来，不过这不是重点。

我们把每个格标个号：

然后我们可以把格子抽象成一个点，然后分开：

最后就是连边：

左边那个蓝蓝的是源点，然后那个白色的大圈是汇点。

从源点连向黑点的边的权值（容量）是那个黑点的值，然后从白点连向汇点的边也是权值。

最后中间那一大坨是。。。。嗯，边的两边的点时候不能同时选的（因为有公共边），边权是INF（尽量大）。

我们要求的是什么呢，没错，选出来的所有点的权值最大…… 这TMD和这图有什么关系啊？

别心急，这题应该是要求最大点权独立集（注意：是点权），就等于所有点的值减去最小点权覆盖集，就是减去最小割（最大流），然后我们就可以开心地写代码了。

可能有些同学并不理解最后一句话是什么意思（其实一开始我也不理解）。

其实是这样的，我们相当与把点权转换为了边权，我们的目的是断开一些边，使得没有路径从源点到达汇点（为了满足题目的限制条件吗），然后我们要使断开的边的权值之和最小（断开的边就相当于是不选那个点，就是剩下的边权之和最大->这就是我们要求的答案嘛），乍一看，这不就是最小割吗？因为最小割=最大流，所以我们可以跑一遍最大流，然后用总的边权减去最大流就是我们的答案了，是不是很棒棒。

总结：做完这题，我对网络流的理解又加深了一层。我们要巧妙的利用网络流的建模技巧（这也是网络流的精髓），把问题转换为可以用网络流解决的问题，要多刷题，刷好题，才能掌握技巧。

上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=1000005;
const int MAXM=1000005;
int d[MAXN],n,m,p[MAXN],eid,S,T,x[MAXN],y[MAXN],z[MAXN],a[105][105],sz,sum;
struct A{  //灰常正常的最大流（Dinic）int v,c,next;
}e[MAXM];
void init(){memset(p,-1,sizeof(p));eid=0;
}
void add(int u,int v,int c){e[eid].v=v;e[eid].c=c;e[eid].next=p[u];p[u]=eid++;
}
void insert(int u,int v,int c){add(u,v,c);add(v,u,0);
}
int bfs(){memset(d,-1,sizeof(d));queue<int>q;d[S]=0;q.push(S);while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();for(int i=p[u];i!=-1;i=e[i].next){int v=e[i].v;if(e[i].c>0&&d[v]==-1){d[v]=d[u]+1;q.push(v); }}}return (d[T]!=-1);
}
int dfs(int u,int flow){ if(u==T) return flow;int ret=0;for(int i=p[u];i!=-1;i=e[i].next){int v=e[i].v;if(e[i].c>0&&d[v]==d[u]+1){int tmp=dfs(v,min(flow,e[i].c));e[i].c-=tmp;e[i^1].c+=tmp;flow-=tmp;ret+=tmp;if(!flow) break;}}if(!ret) d[u]=-1;return ret;
}
int Dinic(){int ret=0;while(bfs()){ret+=dfs(S,INF);}return ret;
}
int main(){    //以下开始码风突变（中了yjq的膜法）init();scanf("%d%d", &m, &n);S=0;T=n*m+1;//建立源点和汇点for(int i = 1; i <= m; i++){for(int j = 1; j <= n; j++){scanf("%d", &a[i][j]);sum += a[i][j];sz ++;if((i + j) % 2){insert(S, sz, a[i][j]);//连向源点if(j < n) insert(sz, sz + 1, INF);//把有限制条件的连起来，边权注意要尽量大if(j > 1) insert(sz, sz - 1, INF);if(i < m) insert(sz, sz + n, INF);if(i > 1) insert(sz, sz - n, INF);} else {insert(sz,T,a[i][j]);//连向汇点}}} printf("%d",sum - Dinic());//总的边权 - 最大流（最小割）return 0;
}

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