两个重要极限定理推导

两个重要极限定理：
lim⁡x→0sin⁡xx=1(1)\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \tag{1} x→0limxsinx=1(1)
和
lim⁡x→∞(1+1x)x=e(2)\lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \tag{2} x→∞lim(1+x1)x=e(2)

引理(夹逼定理)

定义一：

如果数列 {Xn}\lbrace X_n \rbrace{Xn}，{Yn}\lbrace Y_n \rbrace{Yn} 及 {Zn}\lbrace Z_n \rbrace{Zn} ，满足下列条件：

(1) 当 n>N0n > N_0n>N0 时，其中 N0∈N∗N_0 \in N^*N0∈N∗ ，有 Yn≤Xn≤ZnY_n \le X_n \le Z_nYn≤Xn≤Zn，

(2) {Yn}\lbrace Y_n\rbrace{Yn}，{Zn}\lbrace Z_n \rbrace{Zn} 有相同的极限aaa，设 −∞<a<+∞- \infty < a < + \infty−∞<a<+∞，则，数列 {Xn}\lbrace X_n \rbrace{Xn} 的极限存在，且
lim⁡n→∞Xn=a\lim_{n \rightarrow \infty} X_n = a n→∞limXn=a
定义二：

F(x)F(x)F(x) 与 G(x)G(x)G(x) 在 X0X_0X0 连续且存在相同的极限 AAA，即 x→X0x \rightarrow X_0x→X0 时，lim⁡F(x)=lim⁡G(x)=A\lim F(x) = \lim G(x) = AlimF(x)=limG(x)=A，则

若有函数在f(x)f(x)f(x) 在 X0X_0X0 的某领域内恒有 F(x)≤f(x)≤G(x)F(x) \le f(x) \le G(x)F(x)≤f(x)≤G(x) ，则当 XXX 趋近 X0X_0X0，有
lim⁡F(x)≤lim⁡f(x)≤limG(x)\lim F(x) \le \lim f(x) \le lim G(x) limF(x)≤limf(x)≤limG(x)
即
A≤limf(x)≤AA \le lim f(x) \le A A≤limf(x)≤A
故
lim⁡(X0)=A\lim(X_0) = A lim(X0)=A
简单地说：函数 A>BA>BA>B，函数 B>CB>CB>C，函数AAA的极限是XXX，函数 CCC 的极限也是 XXX ，那么函数 BBB 的极限就一定是 XXX，这个就是夹逼定理。

定理 1 证明：

如上图，对于弧 AC⌢\mathop{AC}\limits^{\frown}AC⌢ ，由于半径 111，所以，弧 AC⌢\mathop{AC}\limits^{\frown}AC⌢ 长 xxx。图片很直观地看出 sin⁡x≤x≤tan⁡x\sin x \le x \le \tan xsinx≤x≤tanx，并在 x→0x \rightarrow 0x→0的时候，他们都"相等"。这个是几何直观的，如果我们假设化曲为直是可行的。

所以，

由上述公式，
sin⁡x≤x≤tanx⟺1≤xsin⁡x≤tan⁡xsin⁡x⟺1≤xsin⁡x≤1cos⁡x\sin x \le x \le tan x \iff 1 \le \frac{x}{\sin x} \le \frac{\tan x}{\sin x} \iff 1 \le \frac{x}{\sin x} \le \frac{1}{\cos x} sinx≤x≤tanx⟺1≤sinxx≤sinxtanx⟺1≤sinxx≤cosx1
由上式取倒数得：
cos⁡x≤sin⁡xx≤1\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1 cosx≤xsinx≤1
因为，
lim⁡x→0cos⁡x=1\lim_{x \rightarrow 0} \cos x = 1 x→0limcosx=1
所以，
lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 x→0limxsinx=1
定理 1，得证。

定理2，证明：

首先，证明此极限存在；

构造数列
xn=(1+1n)nx_n = (1 + \frac{1}{n})^n xn=(1+n1)n
根据二项式定理，进行展开：
xn=Cn01n(1n)0+Cn11n−1(1n)1+Cn21n−2(1n)2+⋯+n(n−1)(n−2)⋯1n!10(1n)n=1+1+12!(1−1n)+13!(1−1n)(1−2n)+⋯+1n!(1−1n)(1−2n)⋯(1−n−1n)<2+12!+13!+⋯1n!<2+12+122+123+⋯+12n−1=3−12n−1<3x_n = C_n^01^n(\frac{1}{n})^0 + C_n^11^{n-1}({\frac{1}{n}})^1 + C_n^21^{n-2}({\frac{1}{n}})^2 + \cdots + \frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{n!}1^0(\frac{1}{n})^n \\ = 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n}) + \cdots + \frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{n-1}{n}) \\ < 2 + \frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} + \cdots \frac{1}{n!} \\ < 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} = 3 - \frac{1}{2^{n-1}} < 3 xn=Cn01n(n1)0+Cn11n−1(n1)1+Cn21n−2(n1)2+⋯+n!n(n−1)(n−2)⋯110(n1)n=1+1+2!1(1−n1)+3!1(1−n1)(1−n2)+⋯+n!1(1−n1)(1−n2)⋯(1−nn−1)<2+2!1+3!1+⋯n!1<2+21+221+231+⋯+2n−11=3−2n−11<3
而对于
xn+1=(1+1n+1)n+1=2+12!(1−1n)+⋯+1n!(1−1n)(1−2n)⋯(1−n−1n)+1(n+1)!(1−1n+1)(1−2n+1))⋯(1−nn+1)x_{n+1} = (1 + \frac{1}{n+1})^{n+1} \\ = 2 + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{n}) + \cdots + \frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{n-1}{n}) + \frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1}))\cdots(1- \frac{n}{n+1}) xn+1=(1+n+11)n+1=2+2!1(1−n1)+⋯+n!1(1−n1)(1−n2)⋯(1−nn−1)+(n+1)!1(1−n+11)(1−n+12))⋯(1−n+1n)
所以
xn+1−xn=1(n+1)!(1−1n+1)(1−2n+1))⋯(1−nn+1)>0x_{n+1}-x_n = \frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1}))\cdots(1- \frac{n}{n+1}) > 0 xn+1−xn=(n+1)!1(1−n+11)(1−n+12))⋯(1−n+1n)>0
故，
xn+1>xnx_{n+1} > x_n xn+1>xn
该序列为单调递增序列，存在极限，记此极限为 eee。

对于实数 xxx，则总存在整数 nnn，使得 n≤x≤n+1n \le x \le n+1n≤x≤n+1，则有
(1+1n+1)n<(1+1x)x<(1+1n)n+1(1+\frac{1}{n+1})^n < (1+\frac{1}{x})^x<(1+\frac{1}{n})^{n+1} (1+n+11)n<(1+x1)x<(1+n1)n+1

lim⁡n→∞(1+1n+1)n=lim⁡n→∞(1+1n+1)1+1n+1=lim⁡n→∞(1+1n+1)n+1lim⁡n→∞(1+1n+1)=e1=e\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n+1})^n = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(1+\frac{1}{n+1})}{1 + \frac{1}{n+1}} = \frac{\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n+1})} = \frac{e}{1} = e n→∞lim(1+n+11)n=n→∞lim1+n+11(1+n+11)=limn→∞(1+n+11)limn→∞(1+n+11)n+1=1e=e

同理，
lim⁡n→∞(1+1n)n+1=lim⁡n→∞(1+1n)(1+1n)n=lim⁡n→∞(1+1n)lim⁡n→∞(1+1n)n=e\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})(1 + \frac{1}{n})^n = \lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e n→∞lim(1+n1)n+1=n→∞lim(1+n1)(1+n1)n=n→∞lim(1+n1)n→∞lim(1+n1)n=e

故，根据夹逼定理，函数 f(x)=lim⁡n→∞frac(1+1x)xf(x) = \lim_{n \rightarrow \infty}frac(1 + \frac{1}{x})^xf(x)=limn→∞frac(1+x1)x 的极限存在，为eee。

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