Modern Robotics机器人的构型空间

机器人的构型（configuration）是一个机器人所有点的位置。描述机器人构型的最小实数坐标的个数n是机器人的自由度的数目。这个n维空间包括着机器人所有可能的构型（configurations）称为机器人的构型空间（configuration space，C-space）。机器人的构型可以由它的构型空间里的一个点描述。

机器人的自由度

机器人常见的关节如下图所示

旋转关节(revolute joint,R)，平移关节（prismatic joint,P），螺旋关节（Helical joint,H）都是只有一个自由度。关节也可以有多个自由度，例如圆柱关节(cylindrical joint ,C)有两个自由度，万向节（Universal joint,U）有两个自由度，球形关节（spherical joint，S）有三个关节，其功能与人体的肩关节很像。

Gru¨bler′sGr\ddot {\text u}bler'sGru¨bler′s公式

考察一个又NNN个连杆构成的机械系统，地面也看做一个连杆。假设JJJ是关节的数量，mmm是刚体的自由度（对于平面刚体m=3m=3m=3，对于空间刚体m=6m=6m=6），fif_ifi为第iii个关节具有的自由度数目，cic_ici是第iii个关节具有的约束数目，这里对所有iii都有fi+ci=mf_i+c_i=mfi+ci=m。那么Gru¨bler′sGr\ddot {\text u}bler'sGru¨bler′s计算机器人的自由度数目为
dof=m(N−1)−∑i=1Jci=m(N−1)−∑i=1J(m−fi)=m(N−1−J)+∑i=1Jfi(2.4)dof=m(N-1)-\sum_{i=1}^J c_i\\ =m(N-1)-\sum_{i=1}^J (m-f_i)\\ =m(N-1-J)+\sum_{i=1}^J f_i \tag{2.4} dof=m(N−1)−i=1∑Jci=m(N−1)−i=1∑J(m−fi)=m(N−1−J)+i=1∑Jfi(2.4)

这个公式成立的条件是所有的关节约束是独立的。

下面是计算该公式的C语言模块。

/**
*@brief Description:使用GrublersFormula公式计算机构的自由度.
*@param[in]        N       连杆的数目（包括大地）.
*@param[in]        m       连杆(刚体)的自由度（平面刚体m=3,空间刚体m=6）.
*@param[in]        J       关节的数量.
*@param[in]        f       数组，每个关节的自由度.
*@return               返回输入该机构的自由度.
*@note:                    各个关节的约束是独立的才能使用该函数计算机构的自由度.
*@waring:
*/
int GrublersFormula(int m, int N, int J, int *f)
{int i;int dof;int c = 0;for (i=1;i<=J;i++){//计算自由度的约束c = c + f[i-1];}dof = m*(N - 1 - J) + c;return dof;
}

Example 2.4使用Gru¨bler′sGr\ddot {\text u}bler'sGru¨bler′s公式计算下面的平面机构自由度

这些连杆是平面刚体，因此m=3

(a) dof=3∗(5−1−4)+4=4dof=3*(5-1-4)+4=4dof=3∗(5−1−4)+4=4

(b)dof=3∗(5−1−5)+5=2dof=3*(5-1-5)+5=2dof=3∗(5−1−5)+5=2

©dof=3∗(6−1−7)+7=1dof=3*(6-1-7)+7=1dof=3∗(6−1−7)+7=1

(d)dof=3∗(6−1−7)+7=1dof=3*(6-1-7)+7=1dof=3∗(6−1−7)+7=1

Example2.5 计算如下图有重叠关节的平面机构自由度。

大连杆左端三个连杆连接于一点，可以各自转动。关节的定义为两个连杆的连接，因此这不能算作一个关节，而是两个关节。因此自由度为
dof=3∗(8−1−9)+9=3dof=3*(8-1-9)+9=3 dof=3∗(8−1−9)+9=3

构型空间拓扑

一个点在球面上运动，这个点的构型空间(C-space)是2维的，因为可以用两个坐标表示，纬度和经度。一个点在平面上运动，具有一个2维构型空间(C-space)，有坐标(x,y)。一个平面和一个球面都是2维，但是它们的形状不同，平面无限延伸，而球面互相连在一起。一个椭圆的美国足球与球面有类似的形状，它们具有相等的拓扑。例如一条线段可以把它弯曲成一个开口的半圆，一个开口的半圆也可以直为一条线段，因此它们由相等的拓扑结构。不那么严格地，如果一个空间可以不进行粘合或剪切，通过连续变形得到另一个空间，我们说这两个空间具有相等的拓扑。

圆数学上写为SSS或$ S^1，是1维“球”，直线写为，是1维“球”，直线写为，是1维“球”，直线写为\mathbb E或或或\mathbb E^1，意味1维欧拉空间，因为一个点在，意味1维欧拉空间，因为一个点在，意味1维欧拉空间，因为一个点在\mathbb E^1上可以写成一个实数，因此通常写为上可以写成一个实数，因此通常写为上可以写成一个实数，因此通常写为\mathbb R或或或\mathbb R^1$。

拓扑是空间的属性，与我们选择则怎样的坐标来描述是无关的。例如一个圆，确定一个零角度后，可以选择一个角度θ\thetaθ来描述，也可以在圆心建立一个坐标系，用坐标(x,y)和约束x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1.无论选择怎样的坐标来描述，该空间没有发生改变。

一些C-space可以表示成两个或多个低维的笛卡尔积。例如一个平面刚体的C-space可以写成R2×S1\mathbb R^2\times S^1R2×S1,因为其构型可以用坐标(x,y)表示R2\mathbb R^2R2，一个角度θ\thetaθ表示S1S^1S1,这两个坐标串在一起表示刚体构型。

构型空间表示

如下图是四个拓扑不同的二维C-space及表示

选择nnn个坐标或参数表示一个nnn维空间叫做空间的显式参数化。

使用纬度和经度两个坐标表示球面，在两个极点会出现奇异。解决奇异的方法有：

使用多个坐标图表示该空间。每个坐标图只是空间一部分的显式参数化，在每个坐标图都没有奇异性。多个坐标图重叠覆盖要表示的空间，当在某个坐标图出现奇异时，切换到另一个坐标图表示。
使用隐式表示而不是显式参数化。一个隐式表示把nnn维空间看成是内含与大于n维的空间的欧拉空间。例如2维球面可以看成是包含于3维欧拉空间的一个面。一个隐式表示使用的坐标数高于该空间的维度，当需要约束冗余的自由度。例如使用(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)和一个约束x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1x2+y2+z2=1表示单位球面。

在机器人学里通常使用隐式表示，例如使用9个数值，6个约束，表示刚体在空间的3个方向自由度，该表示称旋转矩阵.

构型和速度约束

一般的机器人包含一个或多个闭环，构型空间可以通过一个列向量θ=[θ1,...,θ2]T∈R2\mathbf \theta=[\theta _1,...,\theta_2]^T\in\mathbb R^2θ=[θ1,...,θ2]T∈R2和闭环方程隐式表示
g(θ)=[g1(θ1,...,θn)⋮gk(θ1,...,θn)]=0,(2.5)g(\mathbf \theta)= \left [ \begin{matrix} g_1(\theta_1,...,\theta_n)\\ \vdots\\ g_k(\theta_1,...,\theta_n)\\ \end{matrix}\right] =0,\tag{2.5} g(θ)=⎣⎢⎡g1(θ1,...,θn)⋮gk(θ1,...,θn)⎦⎥⎤=0,(2.5)
闭环方程是kkk个独立的方程，k≤nk\le nk≤n.这样的约束称为完整约束（holomomic contraints）.C-space可以看成一个包含于Rn\mathbb R^nRn中的n−kn-kn−k维的面.

假设θ\thetaθ是关于时间的轨迹，两边求导有
ddtg(θ(t))=0(2.6)\frac{d}{dt}g(\mathbf \theta (t))=0\tag{2.6} dtdg(θ(t))=0(2.6)
因此
[∂g1(θ)∂θ1θ˙1+...+∂g1(θ)∂θnθ˙n⋮∂gk(θ)∂θ1θ˙1+...+∂gk(θ)∂θnθ˙n]=0\left [ \begin{matrix} \frac{\partial g_1 (\theta)}{\partial \theta _1}\dot \theta _1+...+\frac{\partial g_1 (\theta)}{\partial \theta _n}\dot \theta _n\\ \vdots\\ \frac{\partial g_k (\theta)}{\partial \theta _1}\dot \theta _1+...+\frac{\partial g_k (\theta)}{\partial \theta _n}\dot \theta _n\\ \end{matrix}\right] =0 ⎣⎢⎢⎡∂θ1∂g1(θ)θ˙1+...+∂θn∂g1(θ)θ˙n⋮∂θ1∂gk(θ)θ˙1+...+∂θn∂gk(θ)θ˙n⎦⎥⎥⎤=0
即
[∂g1(θ)∂θ1θ˙1…∂g1(θ)∂θnθ˙n⋮⋱⋮∂gk(θ)∂θ1θ˙1…∂gk(θ)∂θnθ˙n][θ˙1⋮θ˙n]=0\left [ \begin{matrix} \frac{\partial g_1 (\theta)}{\partial \theta _1}\dot \theta _1& \dots & \frac{\partial g_1 (\theta)}{\partial \theta _n}\dot \theta _n \\ \vdots & \ddots &\vdots \\ \frac{\partial g_k (\theta)}{\partial \theta _1}\dot \theta _1& \dots & \frac{\partial g_k (\theta)}{\partial \theta _n}\dot \theta _n\\ \end{matrix}\right] \left [ \begin{matrix} \dot \theta_1\\ \vdots \\ \dot \theta_n\\ \end{matrix}\right] =0 ⎣⎢⎢⎡∂θ1∂g1(θ)θ˙1⋮∂θ1∂gk(θ)θ˙1…⋱…∂θn∂g1(θ)θ˙n⋮∂θn∂gk(θ)θ˙n⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎡θ˙1⋮θ˙n⎦⎥⎤=0
可以继续写成
∂g(θ)∂θθ˙=0(2.7)\frac{\partial g(\theta)}{\partial \theta}\dot \theta=0\tag{2.7} ∂θ∂g(θ)θ˙=0(2.7)
这里∂g(θ)∂θ∈Rk×n\frac{\partial g(\theta)}{\partial \theta}\in\mathbb R^{k\times n}∂θ∂g(θ)∈Rk×n，θ,θ˙∈Rn\theta,\dot {\theta}\in \mathbb R^nθ,θ˙∈Rn,又可以写成
A(θ)θ˙=0(2.8)A(\mathbf \theta)\dot \theta=0 \tag{2.8} A(θ)θ˙=0(2.8)
这里A(θ)∈Rk×nA(\theta)\in\mathbb R^{k\times n}A(θ)∈Rk×n.速度的这种约束形式称为Pfaffian约束。g(θ)g(\theta)g(θ)可以由A(θ)A(\theta)A(θ)积分得到，因此完整约束g(θ)g(\theta)g(θ)又称为积分约束–速度约束可以积分得到构型约束。对于不能通过速度约束积分得到构型约束的Pfaffian约束称为非完整约束.

任务空间和工作空间

机器人的任务空间是机器人任务自然表达的一个空间（与机器人的构型空间无关）。机器人的工作空间是机器人末端能够到达的构型。

小结

一个机器人由一系列关节连接的连杆构成。连杆通常建模为刚体。末端执行器，例如抓手常常会固定到机器人的连杆上。驱动器传递力或扭矩给关节，驱动机器人运动。
最常用的单自由度关节是旋转关节，可以绕关节轴线转动，以及平移关节，可以沿关节轴线平移。圆柱关节有两个自由度，由一个旋转关节和移动关节串联组成，万向节由两个正交的旋转关节组成，球形关节有三个自由度，其功能与人的肩关节相似。
一个刚体的构型其所有点的位置。在平面运动的刚体，需要3个独立参数表示其构型。在空间运动的刚体需要6个参数表示其构型。
一个机器人的构型是其所有连杆的构型。机器人的构型空间是其一系列所有可能的构型。机器人构型空间的维数是其自由度数目。
机器人自由度数目可以通过Gru¨bler′sGr\ddot ubler'sGru¨bler′s公式计算

dof=m(N−1−J)+∑i=1Jfi\text {dof}=m(N-1-J)+\sum _{i=1}^J f_i dof=m(N−1−J)+i=1∑Jfi

对于平面机构m=3m=3m=3，空间机构m=6m=6m=6，NNN是连杆的数目（包括地面连杆），JJJ是关节数目，fif_ifi是第iii个关节的自由度数目。如果关节的约束不是相互独立，Gru¨bler′sGr\ddot ubler'sGru¨bler′s提供的是自由度数目的一个下界。

机器人的C-space可以显式参数化或隐式参数化。对于nnn个自由度的机器人，显示参数化至少使用nnn个坐标，隐式表示则需要mmm个坐标，m≥nm\ge nm≥n，这mmm个坐标受m−nm-nm−n个约束方程约束。使用隐式表示，机器人的C-space可以看做是包含于高维数的mmm维空间的一个nnn维表面。
nnn个自由度的机器人的C-space，结构的一个或多个闭环约束，可以隐式地使用kkk个闭环方程表示，其形如g(θ)=0g(\theta)=0g(θ)=0,θ∈Rm\theta \in\mathbb R^mθ∈Rm,且g:Rm→Rkg:\mathbb R^m\to \mathbb R^kg:Rm→Rk。这样的约束方程称为完整约束。假设θ\thetaθ随时间ttt变化，完整约束g(θ(t))g(\theta(t))g(θ(t))对ttt微分得到

∂g(θ)∂θθ˙=0,\frac{\partial g(\theta)}{\partial \theta}\dot \theta=0, ∂θ∂g(θ)θ˙=0,

这里∂g(θ)/∂θ\partial g(\theta)/\partial \theta∂g(θ)/∂θ是k×mk\times mk×m的矩阵。

机器人的运动可以通过速度约束的形式表示

A(θ)θ˙=0,A(\theta)\dot \theta =0, A(θ)θ˙=0,

这A(θ)A(\theta)A(θ)是k×mk\times mk×m矩阵，不能表示为某个函数g(θ)g(\theta)g(θ)的导数，即不存在a任何的g(θ),g:Rm→Rkg(\theta),g:\mathbb R^m \to R^kg(θ),g:Rm→Rk,使得
A(θ)=∂g(θ)∂θ.A(\theta)=\frac{\partial g(\theta)}{\partial \theta}. A(θ)=∂θ∂g(θ).
这样的约束称为非完整约束，或不可积约束。这些约束减少可行速度的维度，单数不会减少可达C-space的维度。在动量守恒或滚动而不滑动的机器人系统中会出现非完整约束。

机器人的任务空间是机器人任务自然表达的一个空间（与机器人的构型空间无关）。机器人的工作空间是机器人末端能够到达的构型。

参考文献

Kenvin M. Lynch , Frank C. Park, Modern Robotics Mechanics,Planning , and Control. May 3, 2017