Modern Robotics读书笔记(一)

Chapter2 Configuration Space

1.机器人位形configuration：机器人所有位置点的描述
对于图a，门的位形可以用一个参数角度表示；
对于图b，平面中的一个点的位形可以用2个坐标表示(x,y)表示；
对于图c，桌面上一枚硬币中的头像可以用3个参数表示，硬币上点的位置(x,y)，以及硬币的方向。
configutation这里我理解为位姿的另外一种表示形式，即位置和姿态。在三维空间中，机器人位姿传统表示为点坐标(x,y,z)和该点与3个坐标轴的夹角即欧拉角(φa,φb,φc)表示。

2.机器人自由度dof
Degrees of freedom（dof）:用于表示机器人位形的最小实数坐标个数。上述图a和c中，dof分别为1和3.

3.C-space
C-space:configutation space：包含机器人所有位形的n维空间称为C-space.

4.刚体自由度计算
三维空间中，单个刚体自由度个数为6；平面单个刚体的自由度个数为3。
计算公式：
Dof=所有点的自由度个数-独立约束条件的个数
对于平面中的一块硬币，人面头像正面朝上，如图b所示，AB,BC,AC的距离固定，3个点自由度个数为6，给定点A(xa,ya)(0个约束条件)，则B点只能在以A点为中心，AB为半径的圆弧上(B点1个约束条件)，确定了点B点的位置，则点C只能在以点A为圆心，AC为半径的圆和以点B为圆心，BC为半径的圆的交点上(C点2个约束条件)，因此C有2个可选位置，如果已知硬币的正面，则点C的位置就是唯一的。因此给定A(xa,ya)、B(xb,yb)，C点坐标(xc,yc)就是冗余reduntant的。如果给定向量AB与x轴的夹角，则B点坐标(xb,yb)也为冗余的，因此图b位形可用参数(xa,ya,)3个参数表示，自由度为3，即6-0-1-2=3.
对于图c三维空间的刚体，同样3个点A(xa,ya,za)、B(xa,ya,za)、C(xa,ya,za)唯一确定刚体的位形，点总的自由度个数为3*3=9。已知A点坐标(0个约束条件)，B点在以A为中心，AB为半径的球面上(1个约束条件)，我们可以用2个角度表示点B即经度和维度，因此B的自由度数为：3-1=2；点C到A、B的距离固定(2个约束条件)，因此点C在以点A为中心，AC为半径的球面和以B为中心，BC为B半径的球面的两个球面的交点上，C点可以用一个角度表示点C的位置，C点的自由度个数为3-2=1。因此三维空间刚体刚体自由度个数为9-0-1-2=6.

5.机器人关节自由度的计算
关节自由度dof=刚体自由度个数-由关节约束条件的个数
Grübler公式：
对于一个包含N个连杆(包括与地面相连的也视为一个)的机构，关节数量为J，m表示刚体的自由度(平面刚体m=3，空间刚体m=6)，关节i的自由度为fi，约束个数为ci，m=fi+ci，则该机构的自由度为：
这个公式只有在每个关节的约束条件相互独立的情况成立，如果不独立，则该公式计算出的自由度少于实际的自由度个数。
Dof=3*(4-1-4)+4=1
Dof=3*(6-1-7)+7=1
对于不满足约束条件不独立的机构，计算出来的自由度个数少于实际个数，如下图所示：
Dof=3*(5-1-6)+6=0,而实际的dof=1，因为该机构可以朝一个方向运动，这是由于3个平行的用2个关节链接的连杆，对机构的运动没有影响，因此计算公式为dof=3(4-1-4)+4=1

6.C-space的表示方法
显示参数：用n个参数表示n维C-space空间，即用最少的参数表示位形空间；例如一个球面，我们可以用经度和维度2个参数表示一个球体空间。
隐式参数：将n维C-space空间看作是嵌入到超过n维欧氏空间中(需要添加约束条件)，例如，2维的单位球面可以看成是嵌入在3维欧氏空间的一个球面，该三维表示满足约束条件：一般都采用隐式法。

7.位形和速度约束
完整约束holonomic constraints：若干独立约束方程，减少C-space的维度，如果机器人的位形有n个变量定义，且受到k(k<=n)个独立的完整约束，则C-space的维度即机器人的自由度为n-k. 可以看出完整约束是对机器人位形的约束。
如果机器人在运动，则角度是关于时间t的函数，对上式两边对t求导数：
写成矩阵相乘的方式：

简化写成：
theta点表示角度对时间的变化率即角速度，令则：速度约束，上式称为Pfaffian约束。完整约束也称为可积约束，因为完整约束本质是对速度约束的积分。Pfaffian约束有时并不可积，不可积的Pfaffian约束称为非完整约束。非完整约束减少了可能的速度空间，但并没有减少可能的C-space维度。
完整约束是对位形的约束，非完整约束是对速度的约束。

8.任务空间和工作空间
Task space任务空间：是一个可以自由表示机器人任务的空间。如果机器人的任务是在一个平面上绘制图形，那么任务空间就是一个二维欧氏平面R2，如果机器人的任务是控制一个刚体的位置和姿态，那么任务空间就是一个一个刚体的C-space，也就是一个表示位置和姿态的6维空间。任务空间由任务决定的，与机器人无关。
Workspace工作空间：是机器人末端执行器所能到达的位形空间。工作空间是由机器人的结构决定的，与任务无关。
任务空间和工作空间与机器人的C-space不一样，例如对于空间中同一个点，机器人可能有好几种位形到达此点，该点并不能完全表达机器人的位形。任务空间中某些点机器人可能完全达到不了，但工作空间中的点机器人至少有一种位形可以达到。
两个拥有不同的C-space的机构，可能拥有相同的工作空间，也可拥有不同的工作空间。
例如下图SCARA机器人，机器人末端执行器的位形可以用3个笛卡尔坐标(x,y,z)以及在x-y平面取向夹角Φ表示，则任务空间可以表示维R3×S1，工作空间可以用笛卡尔空间中的点(x,y,z)表示.

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