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1. 多维正态分布与图形识别
2. 目录
   1. 写在前面
   2. 从图形识别的角度对正态分布的理解
      1. 什么是正态分布
      2. 一维正态分布下的识别与匹配
      3. 二维正态分布下的识别与匹配
      4. 多维正态分布
      5. 一个图形匹配实际问题
   3. 写在后面

多维正态分布与图形识别

• 对一维，二维，多维正态分布的理解
• 从图形识别角度理解和应用正态分布

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写在前面

• 学无止境，最初只是想要写一个对视频流进行运动识别匹配的程序，然而匹配识别的算法精度不够，于是开始学习线性代数，统计学里的一些知识。这两天又重新把正态分布理解了一下。下文里主要是对于正态分布的直观的想象和个人理解，请多指教。另外，因为对于csdn博客插入数学公式还不太熟悉，用了LaTeX以后会在公式或者变量右边出现一个“|”，还请不要在意。

从图形识别的角度对正态分布的理解

什么是正态分布？

一个弹珠从弹珠游戏机（日本很流行的パチンコ）的顶端落下，并与设置好的障碍发生碰撞。那么这个弹珠落下来的位置就是一个典型的一维正态分布。 
正态分布，也叫高斯分布，是用来表示一个服从正态分布的随机变量的概率分布。而服从正态分布的条件就是，该变量周围存在大量作用因素，但作用因素的影响都很小，那么视这个变量服从正态分布。具体数学上的定义和限制条件先放过不提。

一维正态分布下的识别与匹配

若有一组符合正态分布的数据D₁，其平均值是μ，其标准差是σ，那么对这组数据就可以用一维正态分布的公式进行拟合，计算的结果就是这组数据的概率分布函数。此时再有一个数据x₁，想要知道x₁在D₁的分布下的概率，那么就直接将x₁带入D₁的正态分布函数中计算出相应的分布概率即可。

二维正态分布下的识别与匹配

类似的，若有两组二维数据D₁{(x₁,y₁),(x₂,y₂),……(xn , yn)}，D₂{(x’₁,y’₁),(x’₂,y’₂),……(x’ₐ,y’ₐ)}符合正态分布，则通过计算每一维的平均值μx，μy，以及每一维的标准差σx，σy，可以计算得到D₁，D₂各自的正态分布。

如果对一个二维正态分布的图像，将Z轴去掉，以等高线的形式表示其分布的概率值的大小，那么对于D₁，D₂的图像，就变为了一系列包含着的椭圆。

当一个新的二维向量T（x,y）需要识别匹配T属于D₁还是D₂时，将T带入 
D₁，D₂的正态分布公式后，得到的概率值大的即选定匹配结果。在图中可以看到，T与D₂的欧式距离近（虽然不明显，但是可以姑且想象），但是D₁在T的方向上概率变化缓慢（注意，椭圆表示的是密度的等高线），因此最终计算的结果应该是T匹配到D₁。

多维正态分布

由此引申到多维正态分布。 

一组数据X在正态分布wl中对应的概率可由上式计算。 
wl是一个M维样本，每一维样本又有N个属性的正态分布，也就是一个M*N的矩阵，Σl是wl的协方差矩阵。X同样是一个M*N的数据矩阵。 
设X中的数据元素为xmn。

 
且 

μli是wl中各维度的第i个属性相加求的平均值。

这样通过P(X|wl)就计算出了X分布在wl时候的概率值。有多个样本wl1，wl2……wln时只要求出X在各个样本中分布的概率即可完成匹配。

一个图形匹配实际问题

我学习多维正态分布主要是因为我遇到了下边的问题。

现有三个样本，每一个样本是一个120*30的矩阵。矩阵的行表示存储120帧连续的图像特征点信息，列表示每一帧图像信息是一个10*3的向量(十个关节点的三维坐标)。

现在又获得了一个120*30的新的图像流信息矩阵，要求将这个矩阵与三个样本进行比较匹配。

假设这些关节点各自独立不相互影响。

先求出与样本矩阵的协方差矩阵，和样本自身的平均值μ。然后计算P(X|wl)，并比较得出概率最大的样本。

写在后面

目前还没有把这个算法实现代码，所以精度还不能从实验得知。但是首先，人的上半身10个关节点不能算完全独立不影响，比如腕关节和肘关节在运动时常常有相同的位移趋势等。这一点是否将会影响匹配结果还要等接下来的研究。 
另外周二时候学习的奇异值分解与正态分布也有很大联系。在数据矩阵X中，每一列表示一个数据点，每一行表示一维特征。分解得到的S,U,V可以用正态分布的观点来看。U表示数据形成的正态分布的轴的方向，是一组单位正交基；S代表这些轴的长度，利用奇异值可以将数据矩阵降维并且可以研究数据之间的相关性。 
比如，利用奇异值分解之后的结果，可以确定出我上面问题中，120帧图像流中，哪几帧相关性强，并且这些相关性强的帧中，哪几个关节点与这些帧的相关性强。也就是可以通过分类算法，将帧与动作联系在一起，从这样的相关性的方面对动作进行初步分类识别。而降维后再计算正态分布的概率想必肯定会提高识别的准确性。

在学习的路上希望能够坚持下去，共勉。