Python 统计分析–单因素方差分析

方差分析的主要工作就是将观测数据的总变异(波动)按照变异的原因的不同分解为因子效应与试验误差，并对其作出数量分析，比较各种原因在总变异中所占的重要程度，以此作为进一步统计推断的依据。

1.基本假设

(1).正态假设。对于因素的每个水平，其观测值都是来自正态总体的随机样本；

(2).方差齐性假设。各个总体的方差相同；

(3).独立假设。观测值之间都是独立的。

2.单因素方差分析

设试验只有一个因子（又称为因素）A有r个水平A1A1A_{1}, A2A2A_{2},A3A3A_{3},…,ArArA_{r}。现在水平Ai下进行ni次独立试验，得到的观测数据为XijXijX_{ij}
则单因素方差模型可表示为:

(1).XijXijX_{ij}=μ+ai+εijμ+ai+εij\mu+a_{i}+\varepsilon_{ij}, i=1,2,…,r,j=1,2,…,ninin_{i}

(2).εijεij\varepsilon_{ij} ~ N(0,σ2σ2\sigma^{2}),且εijεij\varepsilon_{ij}相互独立

(3).∑ri=1niαi∑i=1rniαi\sum_{i=1}^{r}n_{i}\alpha_{i} = 0

其中μμ\mu为总平均，αiαi\alpha_{i}是第i个水平的效应，εijεij\varepsilon_{ij}是随机误差。

我们的目的是要比较因素A的r个水平的效应是否有显著差异，这可归结为检验假设:

H0:α1=α2=...=αrH0:α1=α2=...=αrH_{0}:\alpha_{1}=\alpha_{2}=...=\alpha_{r}

如果H0H0H_{0}被拒绝，则说明因素A的各个水平的效应之间有显著差异。

按照方差分析的思想，将总离差平方和分解为两部分，即：

SST=SSE+SSASST=SSE+SSA

SS_{T}=SS_{E}+SS_{A}
其中

SST=∑ri=1∑nij=1(Xij−X¯)2SST=∑i=1r∑j=1ni(Xij−X¯)2SS_{T}=\sum^{r}_{i=1}\sum^{n_{i}}_{j=1}(X_{ij}-\bar{X})^{2}, X¯=1n∑ri=1∑nij=1XijX¯=1n∑i=1r∑j=1niXij\bar{X}=\frac{1}{n}\sum^{r}_{i=1}\sum^{n_{i}}_{j=1}X_{ij}

SSE=∑ri=1∑nij=1(Xij−Xi.¯)2SSE=∑i=1r∑j=1ni(Xij−Xi.¯)2SS_{E}=\sum^{r}_{i=1}\sum^{n_{i}}_{j=1}(X_{ij}-\bar{X_{i.}})^{2}, Xi.¯=1n∑nij=1XijXi.¯=1n∑j=1niXij\bar{X_{i.}}=\frac{1}{n}\sum^{n_{i}}_{j=1}X_{ij}

SSA=∑ri=1∑nij=1(Xi.¯−X¯)2SSA=∑i=1r∑j=1ni(Xi.¯−X¯)2SS_{A}=\sum^{r}_{i=1}\sum^{n_{i}}_{j=1}(\bar{X_{i.}}-\bar{X_{}})^{2}

这里称SSTSSTSS_{T}为总离差平方和（总变差），它是所有数据XijXijX_{ij}与总平均值X¯X¯\bar{X}之差的平方和，描绘所有观测数据的离散程度;SSESSESS_{E}为误差平方和（组内平方和），是对固定的i,观测值Xi1Xi1X_{i1},Xi2Xi2X_{i2},…,XiniXiniX_{in_{i}}之间的差异大小的度量。SSASSASS_A为因素A的效应平方和（组间平方和），表示因子A各水平下的样本均值和总平均值之差的平方和。

可以证明，当H0H0H_{0}成立时

SSEσ2SSEσ2\frac{SS_{E}}{\sigma^{2}} ~ χ2(n−r)χ2(n−r)\chi^{2}(n-r),

SSAσ2SSAσ2\frac{SS_{A}}{\sigma^{2}} ~ χ2(r−1)χ2(r−1)\chi^{2}(r-1)

且SSASSASS_{A}与SSESSESS_{E}独立，于是：
F=SSA/(r−1)SSE/(n−r)F=SSA/(r−1)SSE/(n−r)F =\frac{SS_{A}/(r-1)}{SS_{E}/(n-r)} ~ F(r−1,n−r)F(r−1,n−r)F(r-1,n-r)

若F>Fα(r−1,n−r)F>Fα(r−1,n−r)F > F_{\alpha}(r-1,n-r),则拒绝原假设，认为因素A的r个水平有显著差异。

3.案例：

以淀粉为原料生产葡萄的过程中, 残留许多糖蜜, 可作为生产
酱色的原料. 在生产酱色的过程之前应尽可能彻彻底底除杂, 以保证酱色质量.
为此对除杂方法进行选择. 在实验中选用5种不同的除杂方法, 每种方法做4次
试验, 即重复4次

4.Python 代码


import pandas as pd
from statsmodels.formula.api import ols
from statsmodels.stats.anova import anova_lmdf = pd.read_csv("one-way.csv")df.head()A B
0 a1 25.6
1 a1 22.2
2 a1 28.0
3 a1 29.8
4 a2 24.4model = ols('B ~ A',df).fit()
anovat = anova_lm(model)
print(anovat)

df   sum_sq   mean_sq         F    PR(>F)A          4.0  131.957  32.98925  4.306128  0.016182Residual  15.0  114.915   7.66100

说明: 上述结果中, df表示自由度; sum_sq表示平方和; mean_sq表示均方和;

F表示F检验统计量的值,; PR(>F)表示检验的p值; A就是因素A;Residuals为残差。

5.结果说明：

可以看出p=0.016182<0.05,
说明有理由拒绝原假设, 即认为五种除杂方法有显著差异。

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