可测函数列的依测度收敛性

定义1： 设f(x),f1(x),f2(x),⋯,fk(x),⋯f(x),f_1(x),f_2(x),\cdots,f_k(x),\cdotsf(x),f1(x),f2(x),⋯,fk(x),⋯是可测集EEE上几乎处处有限的可测函数，若对于任意给定的ε>0\varepsilon > 0ε>0，有lim⁡k→∞m(E∣fk−f∣>ε)=0,\lim\limits_{k \rightarrow \infty}m(E|f_k -f|> \varepsilon)=0,k→∞limm(E∣fk−f∣>ε)=0,则称{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk(x)}在EEE上依测度收敛到函数f(x)f(x)f(x)，记为fk⟶mff_k \stackrel{\mathrm{m}}{\longrightarrow}ffk⟶mf。

定理1： 若函数列{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk(x)}在EEE上依测度收敛于函数f(x)f(x)f(x)与g(x)g(x)g(x)，则f(x)f(x)f(x)与g(x)g(x)g(x)几乎处处相等。

定理2： 设函数列{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk(x)}是可测集EEE上的几乎处处有限的可测集函数列且m(E)<∞m(E)< \inftym(E)<∞。若{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk(x)}在EEE上几乎处处收敛，则{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk(x)}在EEE上依测度收敛于同一极限函数。

定理3（Riesz定理）： 设f(x),{fk(x)}f(x),\{f_k(x)\}f(x),{fk(x)}是可测集EEE上几乎处处有限的可测函数列。若{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk(x)}在EEE上依测度收敛于f(x)f(x)f(x)，则存在子列{fki(x)}\{f_{k_i}(x)\}{fki(x)}，使得lim⁡i→∞fki(x)=f(x),a.e.[E].\lim\limits_{i \rightarrow \infty}f_{k_i}(x)=f(x),\quad \mathrm{a.e.}{[E]}.i→∞limfki(x)=f(x),a.e.[E].

定义2： 设{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk(x)}是可测集EEE上几乎处处有限的可测函数列。对任给的ε>0\varepsilon >0ε>0，有lim⁡k,j→∞m(E(∣fk−fj∣)>ε)=0\lim\limits_{k,j\rightarrow \infty}m(E(|f_k-f_j|)>\varepsilon)=0k,j→∞limm(E(∣fk−fj∣)>ε)=0则称{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk(x)}是EEE上的依测度基本列。

定理4： 设{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk(x)}是可测集EEE上几乎处处有限的可测函数列，则{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk(x)}是依测度收敛的充分必要条件是，它还是依测度基本列。

可测函数列的依测度收敛性相关推荐

实变函数与泛函分析课本pdf_实变函数与泛函分析
内容概要本书第1章至第6章为实变函数与泛函分析的基本内容,包括集合与测度.可测函数.Ledcsgue积分.线性赋范空间.内积空间.有界线性算子与有界线性泛函等,第7章介绍了Banach空间上算子的微 ...
随机变量列的四种收敛性
极限定理是研究随机变量列的收敛性,在学习中遇到了随机变量列的四种收敛性:几乎处处收敛(a.e.收敛).以概率收敛(P-收敛).依分布收敛(d-收敛).k阶矩收敛,下面是对它们的吐血整理. 考虑一个随机 ...
[实变函数]4.4 依测度收敛
1 以前学过 $$\bex \mbox{ 点态收敛},\quad \mbox{ 一致收敛}, \eex$$ 本节将用测度引进另外一种收敛概念---``依测度收敛'': $$\beex \bea &am ...
列标题如何删除gridcontrol_DEV控件GridControl常用属性设置（转）
1. 如何解决单击记录整行选中的问题 View->OptionsBehavior->EditorShowMode 设置为:Click 2. 如何新增一条记录 (1).gridView.Ad ...
[转]使用jQuery.ajax傳送物件陣列給ASP.NET MVC
本文转自:http://blog.darkthread.net/post-2012-06-23-post-array-to-mvc-with-jquery-ajax.aspx 在ASP.NET MVC ...
[家里蹲大学数学杂志]第387期一套实变函数期末试题参考解答
一. (本题 $40'$, 每小题 $8$ 分) 证明以下结论: (1). 设 $\scrA$ 是由 $[0,1]$ 上互不相交的正测度集构成的集族, 则 $\scrA$ 中至多有可数个集. 证明: ...
UA MATH523A 实分析3 积分理论概念与定理整理
UA MATH523A 实分析3 积分理论概念与定理整理可测函数非负可测函数的积分一般可测函数的积分可测函数列的收敛 Folland实分析第二章是积分理论,目标是建立Lebesgue积分以及 ...
测度论与概率论笔记4：测度空间上的积分（上）
测度空间上的积分测度空间的积分非负简单函数的积分非负可测函数的积分一般可测函数的积分积分的性质三大积分极限定理 Levi渐升列定理 Fatou引理 Lebesgue控制收敛定理测度空间的 ...
跟锦数学171217-180630
(171217) (1) 试证: $\dps{\sex{1+\f{1}{n}}^n\nearrow \e\ (n\to\infty),\ \sex{1+\f{1}{n}}^{n+1}\searrow ...
[转]勒贝格积分的框架与通俗理解
为什么会出现勒贝格积分这个问题等价于勒贝格积分和黎曼积分有什么区别.其实这个区别没有那么玄,反而很好解释.问题的根源在于黎曼积分的定义上. 黎曼积分: . 黎曼积分是在轴上做的分割,虽然可以分割得很 ...

可测函数列的依测度收敛性

可测函数列的依测度收敛性相关推荐

最新文章

热门文章