[CF891D]Sloth

Description

给出一棵n个节点的树，你需要删去并加入一条边，使得原图仍然是一棵树，并且有完美匹配。
求方案数。
n<=5*1e5

Solution

考虑枚举删去一条边，我们只需要统计某个子树内和外有多少个点可以成为匹配点。
可以设Dp，四种状态，根节点是否被匹配，除根外是否有节点未被匹配。
这样子可以O(n)统计出子树内的答案，但是子树外的答案似乎没有那么好求。
观察我们的转移，是从儿子向父亲合并的，这也限制了我们在换根的时候不能用前缀和来优化。
真的是这样吗？
Orz wxh
我们可以考虑把转移写成一种类似矩阵乘法（当然并不是），使得这个转移满足交换律，并且和谁是父亲无关，只需要把不是父亲的点的trans状态都加起来就是答案。
这个加法是重定义之后的，这样子就可以用前缀和优化换根到O(n)解决问题。
/注释部分是原来的转移/

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define rep(i,a) for(int i=lst[a];i;i=nxt[i])
using namespace std;typedef long long ll;int read() {char ch;for(ch=getchar();ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());int x=ch-'0';for(ch=getchar();ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';return x;
}const int N=1e6+5;int t[N<<1],nxt[N<<1],lst[N],l;
void add(int x,int y) {t[++l]=y;nxt[l]=lst[x];lst[x]=l;
}int n,x,y,size[N],a[N],L[N],R[N],tot;struct Dp{int a[2][2];Dp trans() {Dp x;x.a[0][0]=a[1][0];x.a[0][1]=a[0][0]+a[1][1];x.a[1][0]=a[0][0];x.a[1][1]=a[0][1];return x;}friend Dp operator + (Dp x, Dp y) {Dp z;memset(z.a,0,sizeof(z.a));fo(i,0,1)fo(j,0,1)fo(k,0,1-i)fo(l,0,1-j)z.a[i+k][j+l]+=x.a[i][j]*y.a[k][l];/*z.a[0][0]=x.a[0][0]*y.a[1][0];z.a[0][1]=x.a[0][0]*(y.a[0][0]+y.a[1][1]);z.a[0][1]+=x.a[0][1]*y.a[1][0];z.a[1][0]=x.a[0][0]*y.a[0][0];z.a[1][0]+=x.a[1][0]*y.a[1][0];z.a[1][1]=x.a[0][0]*y.a[0][1];z.a[1][1]+=x.a[0][1]*y.a[0][0];z.a[1][1]+=x.a[1][0]*(y.a[0][0]+y.a[1][1]);z.a[1][1]+=x.a[1][1]*y.a[1][0];*/return z;}
}f[N],g[N],pre[N],Null;void dfs(int x,int y) {rep(i,x) if (t[i]!=y) dfs(t[i],x);f[x]=Null;size[x]=1;rep(i,x)if (t[i]!=y) {size[x]+=size[t[i]];f[x]=f[x]+f[t[i]].trans();}
}void dp(int x,int y) {L[x]=++tot;rep(i,x) if (t[i]!=y) a[++tot]=t[i];R[x]=tot;    pre[L[x]]=y?g[x].trans():Null;fo(i,L[x]+1,R[x]) pre[i]=pre[i-1]+f[a[i]].trans();Dp now=Null;fd(i,R[x],L[x]+1) {g[a[i]]=pre[i-1]+now;now=now+f[a[i]].trans();}fo(i,L[x]+1,R[x]) dp(a[i],x);
}int main() {n=read();fo(i,1,n-1) {x=read();y=read();add(x,y);add(y,x);}Null.a[0][0]=1;dfs(1,0);dp(1,0);ll ans=0;fo(i,2,n)if (f[i].a[1][0]==1&&g[i].a[1][0]==1) ans+=(ll)size[i]*(n-size[i]);else ans+=(ll)(f[i].a[0][0]+f[i].a[1][1])*(g[i].a[0][0]+g[i].a[1][1]);printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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