重读微积分（八）：全微分和法线

重读微积分（一）：极限

重读微积分（二）：三个极限常数的来源

重读微积分（三）：洛必达法则

重读微积分（四）：连续性和导数

重读微积分（五）：数值导数

重读微积分（六）：差商与牛顿插值

重读微积分（七）：方向导数
本系列所有代码皆用R语言完成。

文章目录

6 全微分
7 法线

6 全微分

对于任意函数f(x0,x1,⋯,xn)f(x_0,x_1,\cdots,x_n)f(x0,x1,⋯,xn)，其梯度为

∇f=(∂f∂x0,∂f∂x0,⋯,∂f∂x0)\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x_0}, \frac{\partial f}{\partial x_0},\cdots, \frac{\partial f}{\partial x_0}) ∇f=(∂x0∂f,∂x0∂f,⋯,∂x0∂f)

由于在求导过程中，常数项被置零，所以∇f\nabla f∇f必然反映出f=0f=0f=0的某些几何特征。

z=1−x2−y2z=1-x^2-y^2z=1−x2−y2对应的方程是x2+y2=0x^2+y^2=0x2+y2=0，是一个圆形，其梯度为(−2x,−2y)(-2x,-2y)(−2x,−2y)，做图如下

theta = seq(-pi,pi,0.1)
x = cos(theta)
y = sin(theta)
plot(x,y,type='l',col='red')
x1 = x*0
y1 = (x1-x)/(-2*x)*(-2*y)+y
for(i in 1:length(theta))lines(c(x[i],x1[i]),c(y[i],y1[i]),col='green')

可见，梯度方向对应的是图形的法线方向。对于二维平面内的曲线而言，其法线方向与切线方向垂直。

关于切线方向，我们仅知道y=f(x)y=f(x)y=f(x)的切线的斜率为k=f′(x)k=f'(x)k=f′(x)，对应的方向为(1,f′(x))(1,f'(x))(1,f′(x))。或者更直观地写为dydx\frac{\text dy}{\text dx}dxdy。

而今却只知道x,yx,yx,y的隐函数表达式f(x,y)=0f(x,y)=0f(x,y)=0，对此可以先写出x,yx,yx,y的偏导数fx′=∂f∂x,fy′=∂f∂yf'_x=\frac{\partial f}{\partial x},f'_y=\frac{\partial f}{\partial y}fx′=∂x∂f,fy′=∂y∂f。

回顾偏导数的定义

fx′(x0,y0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δxf'_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} fx′(x0,y0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)

这里出现一个很吊诡的问题，既然满足f(x,y)=0f(x,y)=0f(x,y)=0，那么f(x,y)=0f(x,y)=0f(x,y)=0上的任意两点的差必为0，但显然在计算fx′f'_xfx′的过程中，并没有遵守f(x,y)=0f(x,y)=0f(x,y)=0这个条件，即(x+Δx,y)(x+\Delta x,y)(x+Δx,y)可能并不在曲线f(x,y)=0f(x,y)=0f(x,y)=0上。

若想制造出一个完全位于f(x,y)=0f(x,y)=0f(x,y)=0上的变化关系，则可令

Δf=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0+Δy)+f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)\begin{aligned} \Delta f&=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\ &=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)+f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) \end{aligned} Δf=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0+Δy)+f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)

回顾偏导数的定义

fx′(x0,y0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δxf'_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} fx′(x0,y0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)

则当Δx→0,Δy→0\Delta x\to0,\Delta y\to0Δx→0,Δy→0时，

Δf=fx′(x0,y0+Δy)Δx+fy′(x0,y0)Δy=fx′(x0,y0)Δx+fy′(x0,y0)Δy\begin{aligned} \Delta f&=f'_x(x_0,y_0+\Delta y)\Delta x+f'_y(x_0,y_0)\Delta y\\ &=f'_x(x_0,y_0)\Delta x+f'_y(x_0,y_0)\Delta y \end{aligned} Δf=fx′(x0,y0+Δy)Δx+fy′(x0,y0)Δy=fx′(x0,y0)Δx+fy′(x0,y0)Δy

由于满足f(x,y)=0f(x,y)=0f(x,y)=0，所以Δf=0\Delta f=0Δf=0，且Δx,Δy\Delta x,\Delta yΔx,Δy也会受到约束，二者同时趋近于0也可以表述为Δy\Delta yΔy在满足约束fff的情况下，随着Δ→0\Delta\to0Δ→0而趋近于0。故上式可写为

fx′(x0,y0)Δx=−fy′(x0,y0)Δy↓lim⁡Δx→0ΔyΔx=−fx′fy′↓dydx=−fx′fy′f'_x(x_0,y_0)\Delta x=-f'_y(x_0,y_0)\Delta y\\ \downarrow\\ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{f'_x}{f'_y}\\ \downarrow\\ \frac{\text dy}{\text dx}=-\frac{f'_x}{f'_y} fx′(x0,y0)Δx=−fy′(x0,y0)Δy↓Δx→0limΔxΔy=−fy′fx′↓dxdy=−fy′fx′

故对于f(x,y)=0f(x,y)=0f(x,y)=0，其切线方向为(1,−fx′fy′)(1,-\frac{f'_x}{f'_y})(1,−fy′fx′)。

其法线方向为(fx′,fy′)(f'_x,f'_y)(fx′,fy′)。

二者内积(1,−fx′fy′)⋅(fx′,fy′)≡0(1,-\frac{f'_x}{f'_y})\cdot(f'_x,f'_y)\equiv0(1,−fy′fx′)⋅(fx′,fy′)≡0。从而我们证明了f(x,y)f(x,y)f(x,y)的梯度为f(x,y)=0f(x,y)=0f(x,y)=0这个曲线的法线。

而这个过程中，则得到了一种新的变化关系，即全微分，定义为

df=fx′dx+fy′dy\text df=f'_x\text dx+f'_y\text dy df=fx′dx+fy′dy

7 法线

为了书写方便，记xi=x1,x2,...,xnx_i=x_1,x_2,...,x_nxi=x1,x2,...,xn，∂f∂xi=∂f∂x1,∂f∂x2,⋯∂f∂xn\frac{\partial f}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots\frac{\partial f}{\partial x_n}∂xi∂f=∂x1∂f,∂x2∂f,⋯∂xn∂f。

对于函数f(xi)=0f(x_i)=0f(xi)=0而言，其梯度为(∂f∂xi)(\frac{\partial f}{\partial x_i})(∂xi∂f)。而xn+1=f(xi)x_{n+1}=f(x_i)xn+1=f(xi)可以写为F(xi,xn+1)=f(xi)−xn+1=0F(x_i,x_{n+1})=f(x_i)-x_{n+1}=0F(xi,xn+1)=f(xi)−xn+1=0，其梯度为

(∂F∂f∂f∂xi,−∂F∂xn+1)=∂F∂f(∂f∂xi,−∂f∂F∂F∂xn+1)(\frac{\partial F}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial x_i}, -\frac{\partial F}{\partial x_{n+1}})=\frac{\partial F}{\partial f}(\frac{\partial f}{\partial x_i},-\frac{\partial f}{\partial F} \frac{\partial F}{\partial x_{n+1}}) (∂f∂F∂xi∂f,−∂xn+1∂F)=∂f∂F(∂xi∂f,−∂F∂f∂xn+1∂F)

如果只关注方向的话，那么矢量的数乘是没有意义的，所以可以把括号外的值消去；另外，fff和xn+1x_{n+1}xn+1是相同的值，所以xn+1=f(xi)x_{n+1}=f(x_i)xn+1=f(xi)的法向量可以写为

(∂f∂xi,−1)(\frac{\partial f}{\partial x_i},-1) (∂xi∂f,−1)

用几何的观点来看待nnn变量函数xn+1=f(xi)x_{n+1}=f(x_i)xn+1=f(xi)，实际上是n+1n+1n+1维空间中嵌入的一个n维曲面。∇f\nabla f∇f代表的是这个n+1n+1n+1维超曲面在以第n+1n+1n+1个轴方向进行投影得到的nnn维曲面的法向量。(∂f∂xi,1)(\frac{\partial f}{\partial x_i},1)(∂xi∂f,1)表示这个n维曲面的法向量。

相应地最大方向导数的方向即为梯度的归一化

(∂f∂xi)∑j=0n(∂f∂xj)2\frac{(\frac{\partial f}{\partial x_i})}{\sqrt{\sum^n_{j=0}(\frac{\partial f}{\partial x_j})^2}} ∑j=0n(∂xj∂f)2(∂xi∂f)

由此得到的方向导数为

∑j=0n(∂f∂xj)2\sqrt{\sum^n_{j=0}(\frac{\partial f}{\partial x_j})^2} j=0∑n(∂xj∂f)2

相应地，空间中根据曲面的方向导数得到一个切向量

((∂f∂xi)∑j=0n(∂f∂xj)2,∑j=0n(∂f∂xj)2)(\frac{(\frac{\partial f}{\partial x_i})}{\sqrt{\sum^n_{j=0}(\frac{\partial f}{\partial x_j})^2}} ,\sqrt{\sum^n_{j=0}(\frac{\partial f}{\partial x_j})^2}) (∑j=0n(∂xj∂f)2(∂xi∂f),j=0∑n(∂xj∂f)2)

切、法相乘，结果为0。但是，对于任何一个不小于3维的向量而言，总是有无穷多个与之相乘为0且方向不同的向量。

例如，随机抽选出一个序号不大于nnn的第jjj坐标轴，沿该坐标轴方向做其切线，则其切线方向为

(0,⋯,1,⋯,0,∂f∂xj)(0,\cdots,1,\cdots,0,\frac{\partial f}{\partial x_j}) (0,⋯,1,⋯,0,∂xj∂f)

该矢量与法矢量的点乘仍然为0。

对于z=1−x2−y2z=1-x^2-y^2z=1−x2−y2，其法向量为(−2x,−2y,−1)(-2x,-2y,-1)(−2x,−2y,−1)，其最大方向导数处的切向量为(−xx2+y2,−yx2+y2,2x2+y2)=(−x,−y,2−2z)(\frac{-x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}},2\sqrt{x^2+y^2})=(-x,-y,2-2z)(x2+y2−x,x2+y2−y,2x2+y2)=(−x,−y,2−2z)，xxx轴方向的切向量为(1,0,−2x)(1,0,-2x)(1,0,−2x)，yyy轴方向处的切向量为(0,1,−2y)(0,1,-2y)(0,1,−2y)。

现随机选择一些点，来绘制一下这四个方向的向量

library(rgl)
N = 1500
x<-rnorm(N)
y<-rnorm(N)
z<-1-x^2-y^2
for(i in 1:N){lines3d(c(x[i],3*x[i]),c(y[i],3*y[i]),c(z[i],z[i]+1),col='red')if(y[i]>0.1)lines3d(c(x[i],x[i]),c(y[i],y[i]-1/y[i]/2),c(z[i],z[i]+1),col='green')if(x[i]>0.1)lines3d(c(x[i],x[i]-1/x[i]/2),c(y[i],y[i]),c(z[i],z[i]+1),col='green')lines3d(c(x[i],x[i]*(1-2*z[i])/(2-2*z[i])),c(y[i],y[i]*(1-2*z[i])/(2-2*z[i])),c(z[i],z[i]+1),col='green')
}

可以看到，绿线几乎重新编织了一遍原函数，而红线则刺破了曲面。