拉格朗日插值公式详解

一．线性插值(一次插值）
已知函数f(x)在区间[xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一个一次函数y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点。

1. 插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：

把此式按照 yk 和yk+1 写成两项:

记

并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表：

从而
         P1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x)

此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中, 插值基函数与yk 、yk+1 无关，而由插值结点xk 、xk+1所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合, 相应的组合系数是该点的函数值yk 、yk+1 .

例1: 已知lg10=1,lg20=1.3010, 利用插值一次多项式求lg12的近似值。

解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010,设
          x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010
则插值基函数为：

于是, 拉格朗日型一次插值多项式为:

故 :

即lg12 由lg10和lg20 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).

二．二次插值多项式
已知函数y=f(x)在点xk-1 ,xk ,xk+1上的函数值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一个次数不超过二次的多项式P2(x), 使其满足,

P2 (xk-1 )=yk-1 , P2 (xk )=yk , P2 (xk+1 )=yk+1 .

其几何意义为:已知平面上的三个点
(xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),

求一个二次抛物线, 使得该抛物线经过这三点。
1.插值基本多项式
有三个插值结点xk-1 ,xk ,xk+1 构造三个插值基本多项式，要求满足：

(1) 基本多项式为二次多项式； (2) 它们的函数值满足下表：

因为lk-1 (xk )= 0,lk-1 (xk+1 )=0, 故有因子(x-xk )(x-xk+1 ), 而其已经是一个二次多项式, 仅相差一个常数倍, 可设
              lk-1 (x)=a(x-xk )(x-xk+1 ),
又因为
               lk-1 (xk-1 )=1 ==> a(xk-1 -xk )(xk-1 -xk+1 )=1
得
　             　　

从而

同理得

基本二次多项式见右上图(点击按钮“显示Li”)。

2. 拉格朗日型二次插值多项式
由前述, 拉格朗日型二次插值多项式:
                P2 (x)=yk-1 lk-1 (x)+yk lk (x)+yk+1 lk+1 (x),P2 (x)
是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足:
                P2 (xi )=yi , (i=k-1,k,k+1) 。
例2 已知：
                xi         10      15             20

yi=lgxi 1 1.1761 1.3010

利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值。
解：设x0 =10,x1 =15,x2 =20,则:

故:

所以

7利用三个点进行抛物插值得到lg12的值,与精确值lg12=1.0792相比,具有3位有效数字,精度提高了。

三、拉格朗日型n次插值多项式
已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0 ,x1 ,…,x2 上的函数值分别为

y0 ,y1 ,…,yn ,求一个次数不超过n的多项式Pn (x),使其满足:

Pn (xi )=yi , (i=0,1,…,n),

即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。
1. 插值基函数
过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数
l0 (x),l1 (x),…,ln (X)
每个插值基本多项式li (x)满足：

(1) li (x)是n次多项式;

(2) li (xi )=1,而在其它n个li (xk )=0 ,(k≠i)。

由于li (xk )=0 ,(k≠i), 故有因子:

(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )

因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。令:
li (x)=a(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )

由li (xi )=1,可以定出a, 进而得到：

2.n次拉格朗日型插值多项式Pn (x)

Pn (x)是n+1个n次插值基本多项式l0 (x),l1 (x),…,ln (X)的线性组合,相应的组合系数是y0 ,y1 ,…,yn。即:

Pn (x)=y0 l0 (x)+y1 l1 (x)+…+yn ln (x),

从而Pn (x)是一个次数不超过n的多项式,且满足

Pn (xi )=yi , (i=0,1,2,…,n).

例3 求过点(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多项式。
解用4次插值多项式对5个点插值。

所以


    四、拉格朗日插值多项式的截断误差
我们在[a,b]上用多项式Pn (x) 来近似代替函数f(x), 其截断误差记作
      Rn (x)=f(x)-Pn (x)
当x在插值结点xi 上时Rn (xi )=f(xi )-P n(xi )=0,下面来估计截断误差：

定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y(n) =f(n) (x)在[a,b]上连续，
     y(n+1) = f(n+1) (x)
在(a,b)上存在；插值结点为:
    a≤x0 <x1 <…<xn ≤b,
Pn (x)是n次拉格朗日插值多项式；则对任意x∈[a,b]有：

其中ξ∈(a,b), ξ依赖于x：ωn+1 (x)=(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn )

证明：由插值多项式的要求：
Rn(xi )=f(xi )-Pn (xi )=0，(i=0,1,2,…,n);
设
Rn (x)=K(x)(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn )=K(x)ωn+1 (x)

其中K(x)是待定系数；固定x∈[a,b]且x≠xk ，k=0,1,2,…,n;作函数

H(t)=f(t)-Pn (t)-K(x)(t-x0 )(t-x1 )…(t-xn )

则 H(xk )=0，(k=0,1,2,…,n), 且H(x)=f(x)-Pn (x)-Rn(x)=0, 所以，

H(t)在[a,b]上有n+2个零点，反复使用罗尔中值定理:存在ξ∈(a,b),

使; 因Pn (x)是n次多项式，故P(n+1) (ξ)=0, 而

ωn+1 (t)=(t-x0 )(t-x1 )…(t-xn )

是首项系数为1的n+1次多项式，故有

于是
        H(n+1) (ξ)=f(n+1)(ξ)-(n+1)!K(x)
得：

所以

设 , 则：

易知，线性插值的截断误差为:

二次插值的截断误差为:

下面来分析前面两个例子(例1，例2)中计算lg12的截断误差：
在例1中，用lg10和lg20计算lg12,
       P1(12)=1.0602,lg12=1.0792

e=|1.0792-1.0602|=0.0190;
估计误差：f(x)=lgx,
,当x∈[10,20]时,

在例2中，用lg10,lg15和lg20计算lg12.
P2(12)=1.0766,

e = |1.0792-1.0766|=0.0026
估计误差：

拉格朗日插值公式详解相关推荐

拉格朗日对偶性详解（手推笔记）
个人原创笔记,转载请附上本文链接. 拉格朗日对偶性其实也没有那么难理解,在我梳理过后你会发现也就是那一回事罢了. 围绕着拉格朗日对偶性探讨的整个流程下来,实际上牵扯到三个问题: 原始问题,我们记作 ...
拉格朗日插值法(图文详解)
参考:https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6833391.html 在数值分析中,拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多 ...
拉格朗日插值的优缺点_拉格朗日插值法(图文详解)
对某个多项式函数,已知有给定的k + 1个取值点: 其中对应着自变量的位置,而对应着函数在这个位置的取值. 假设任意两个不同的xj都互不相同,那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为: ...
分段二次插值函数表达式_【插值】插值方法原理详解
插值问题详解 1. 我在具体的应用(如数学建模竞赛)中,常常需要根据已知的函数点进行数据.模型的处理和分析,而通常情况下现有的数据是极少的,不足以支撑分析的进行,这时就需要使用一些数学的方法,&quo ...
matlab插值法原理,【插值】插值方法原理详解
插值问题详解 1. 我在具体的应用(如数学建模竞赛)中,常常需要根据已知的函数点进行数据.模型的处理和分析,而通常情况下现有的数据是极少的,不足以支撑分析的进行,这时就需要使用一些数学的方法,&quo ...
20160203.CCPP体系详解(0013天)
程序片段(01):数组.c+02.数组初始化语法.c 内容概要:数组 ///01.数组.c #include <stdio.h> #include <stdlib.h>//01 ...
SVM分类器原理详解
SVM分类器原理详解标签: svm文本分类java 2015-08-21 11:51 2399人阅读评论(0) 收藏举报分类: 数据挖掘文本处理(16) 机器学习分类算法(10) 目 ...
SVM-支持向量机原理详解与实践之一
SVM-支持向量机原理详解与实践前言去年由于工作项目的需要实际运用到了SVM和ANN算法,也就是支持向量机和人工神经网络算法,主要是实现项目中的实时采集图片(工业高速摄像头采集)的图像识别的这一部 ...
SVM-支持向量机原理详解与实践之三
SVM-支持向量机原理详解与实践之二 SVM原理分析以下内容接上篇. 拉格朗日对偶性(Largrange duality)深入分析前面提到了支持向量机的凸优化问题中拉格朗日对偶性的重要性. 因为通 ...
abaqus实例详解_Abaqus接触分类、形成和定义
接触概述从物理意义上来讲,两个物体彼此接触,接触压力在两个物体间传递,同时,接触面之间摩擦产生剪切应力,阻止物体切向运动:从数值计算上来讲,接触是极其不连续的边界条件非线性,即接触面接触时产生接触约 ...

拉格朗日插值公式详解

拉格朗日插值公式详解相关推荐

最新文章

热门文章