数学--数论--质数处理

定义：
一个数的因数只有1和本身，那么这个数是质数。
质数的判断：
一个数n如果不是质数那么在2—sqrt(n)sqrt(n)sqrt(n)一定有他的因子，于是：

bool isPrime (int n)
{for(int i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0) return false;}else return false;
}

但是在大量元素中，比如1—1e61—1e61—1e6中的质数，再用上面的朴素算法，就有些蹩脚了。
这里我们给出埃氏筛法：
原理：如果找到一个质数，那么这个质数的倍数都不是质数

int primes[N],cnt;
bool bprime[N];
void getPrime(int n){memset(bprime,false,sizeof(bprime));bprime[0]=true;bprime[1]=true;   for(int i=2;i<=n;i++){if(!bprime[i]){prime[cnt++]=i;for(LL j=i*2;j<=n;j+=i)bprime[j]=true;}}
}

但是埃氏筛法的缺点：例如6会被3整除，6会被2整除，会被筛两次，所以我们再给出欧氏线性筛法：

int primes[N],cnt;
bool bPrime[N];
void getPrimes(int n){memset(bPrime,false,sizeof(bPrime));for(int i=2;i<=n;i++){if(!bPrime[i])primes[cnt++]=i;for(int j=0;j<cnt&&i*primes[j]<n;j++){bPrime[i*primes[j]]=true;if(i%primes[j]==0)break;}}
}

1e8以内的素数筛法

#include<iostream>
#include<bitset>
using namespace std;
bitset<100000010>v;
int prime[6000001];
int m=0;
void primes(int n)
{for(int i=2; i*i<=n; i++){if(!v[i]){for(int j=i*i; j<=n; j+=i)v[j]=1;}}for(int i=2; i<=n; i++)if(!v[i])prime[m++]=i;for(int i=0; i<m; i++)cout<<prime[i]<<endl;
}
int main()
{primes(1e3+20);return 0;
}

奇技淫巧：
用6N±1法求素数
任何一个自然数，总可以表示成为如下的形式之一：6N，6N+1，6N+2，6N+3，6N+4，6N+5 (N=0，1，2，…)
显然，当N≥1时，6N，6N+2，6N+3，6N+4都不是素数，只有形如6N+1和6N+5的自然数有可能是素数。所以，除了2和3之外，所有的素数都可以表示成6N±1的形式(N为自然数)。

Miller-Rabin 算法
Miller-Rabin 算法是一个随机算法，随机生成几个 a 利用费马小定理与二次探测定理来检测素数。

只需要多次寻找不超过 n-1 基并检验是否有，如果一直有，那么这个数大概率就是一个素数，否则可以立即判定这个数是个合数。

虽然看似没有问题，但却存在一些数，对于 a 的某些选择可以骗过该算法，这些数虽然不是素数，但却对所有与 p 互素的 0<a<p 满足，因此，还需要附加二次探测定理的测试来改进不出错的几率。

LL Mult_Mod(LL a,LL b,LL m)//res=(a*b)%m
{a%=m;b%=m;LL res=0;while(b){if(b&1)res=(res+a)%m;a=(a<<=1)%m;b>>=1;}return res%m;
}
LL Pow_Mod(LL a, LL b, LL m)//res=(a^b)%m
{LL res=1;LL k=a;while(b){if((b&1))res=Mult_Mod(res,k,m)%m;k=Mult_Mod(k,k,m)%m;b>>=1;}return res%m;
}
bool Witness(LL a,LL n,LL x,LL sum)
{LL judge=Pow_Mod(a,x,n);if(judge==n-1||judge==1)return 1;while(sum--){judge=Mult_Mod(judge,judge,n);if(judge==n-1)return 1;}return 0;
}
bool Miller_Rabin(LL n)
{if(n<2)return 0;if(n==2)return 1;if((n&1)==0)return 0;LL x=n-1;LL sum=0;while(x%2==0){x>>=1;sum++;}int times=20;for(LL i=1;i<=times;i++){LL a=rand()%(n-1)+1;//取与p互质的整数aif(!Witness(a,n,x,sum))//费马小定理的随机数检验return 0;}return 1;
}
int main()
{int p;cin>>p;if(Miller_Rabin(p))cout<<p<<"可能是素数"<<endl;elsecout<<p<<"是合数"<<endl;return 0;
}

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