原题来自雪梨教育

http://www.edu2act.net/task/list/checked/

题后给出讲解和扩展

任务1_1 比较下列算法的时间复杂度

任务描述：

下面给出4个算法，请分析下列各算法的时间复杂度，请写清楚题号，并将每个小题的分析过程写出来，并给出分析结果。

（1）

for(i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &num[i]);
ans = num[1];
for(i = 1; i <= n; i++)
{for(j = i; j <= n; j++) {s = 0;for(k = i; k <= j; k++)s += num[k];if(s > ans)ans = s;}
}

（2）

for(i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &num[i]);
sum[0] = 0;
for(i = 1; i <= n; i++) {sum[i] = num[i] + sum[i - 1];
}ans = num[1];
for(i = 1; i <= n; i++) {for(j = i; j <= n; j++) {s = sum[j] - sum[i - 1];if(s > ans) ans = s;}
}

（3）

int solve(int left, int right)
{if(left == right)return num[left];mid = (left + right) / 2;lans = solve(left, mid);rans = solve(mid + 1, right);sum = 0, lmax = num[mid], rmax = num[mid + 1];for(i = mid; i >= left; i--) {sum += num[i];if(sum > lmax) lmax = sum;}sum = 0;for(i = mid + 1; i <= right; i++) {sum += num[i];if(sum > rmax) rmax = sum;}ans = lmax + rmax;if(lans > ans) ans = lans;if(rans > ans) ans = rans;return ans;
}int main(void)
{scanf("%d", &n);for(i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &num[i]);printf("%d\n", solve(1, n));return 0;
}

（4）

for(i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &num[i]);num[0] = 0;
ans = num[1];
for(i = 1; i <= n; i++)
{if(num[i - 1] > 0) num[i] += num[i - 1];elsenum[i] += 0;if(num[i] > ans) ans = num[i];
}

任务1_2 数字反转的时空复杂度

任务描述：

下面两个函数fun1和fun2都是实现对整数的逆序输出功能，请根据下面题目要求，给出答案。

（1）请分析函数fun1的时间复杂度和空间复杂度；

（2）请分析函数fun2的时间复杂度和空间复杂度。

代码如下：

int fun1(int n)
{int rev = 0;while (n != 0) {int pop = n % 10;n /= 10;rev = rev * 10 + pop;}return rev;
}void fun2(int n)
{printf("%d", n % 10);if(n / 10 != 0)fun2(n / 10);
}int main(void)
{printf("%d\n", fun1(10203)); fun2(10203);return 0;
}

讲解：

说频度，或者求和公式往上堆出来的解释，都是耍流氓

没有专业名词的讲解才是讲解

直接粘贴我交的作业

先用数学说明，后解释题意并分析。

分别为O(N^3),O(N^2),O(N*logN),O(N).

数学：

1）第一个循环O(N)

对于每一个i来说，j执行n-i+1次，对于每个j来说，k执行j-i+1次，我们把常数去掉，

对于每一个i，执行的常数操作为1+2+3+...+(n-i+1),等差数列[1+(n-i+1)](n-i+1)/2约等于(n-i)^2而i=1,2,....n，分别执行常熟操作次数为(n-1)^2,(n-2)^2......1^2,0^2.，可以看出是平方函数求和，而对x^2求和n项的公式为(n^3)/3+(n^2)/2+n/6，我们只看最大，去掉常数，也就是O(N^3).

O(N^3)+O(N)当然还是O(N^3)

2）前两个循环都是O(N),下面两重循环，对于每个i，j执行n-i次，当i=1，2....n，j执行次数为n-1,n-2....1,0,可以看出是等差数列求和，最高项是(n^2)/2，去掉系数，时间复杂度为O(N^2).

加起来：O(N^2)+O(N)+O(N)=O(N^2)

3）分析solve函数：采用二分，将序列分成两份，直到不可再分，执行的两个循环加起来就是遍历一遍左右端点之间数的复杂度。我们看所有从长度为1的子数组，数量为n，合并后，所有长度为2的子数组，数量为n/2，再合并，长度为4的子数组，数量为n/4，我们会发现对于每个长度1,2^2,2^4,2^3，的子数组，遍历一遍所有长度一样的子数组的复杂度都是O(N)，设一共有x种长度，2^x=n,很明显x=log(2,n)。

每次O(N)，次数o(log(2,n)),乘起来O(n*logn)

看main函数，接收数据是O(N)，加solve，等于O(n*logn)

4）接收数据O(N)，一个循环O(N)，加起来O(N)。

下面我根据完成的功能和思路分析一下：（思路简单，文字略长，不太会叙述）

这四个代码完成的功能都是求最大子数组（注意用词准确，子数组连续，子序列可以不连续）。

1）分别枚举每一个子数组的起点和终点，也就是i和j，对于每一个起点和终点，对中间部分求和，也就是k循环。显然有n个起点n个终点（去重减半，不影响复杂度），所以子数组数量为O(N^2)，对于每个子数组，我们要遍历一下求和，子数组长度1-n不等，遍历一遍平均O(N)，乘起来O(N^3).（注意可能产生时间更大的错觉）。找出所有子数组中最大的即可。

2）预处理出每一个以第一个元素开始，第i个元素结尾的子数组和，还是枚举每个起点终点，但是我们求和时直接减就可以了，不用遍历。对于每个子数组，操作为O(1),子数组数量O(N^2),所以总时间O(N^2).

3）二分，求左右两边最大子数组，取最大。但是还有一种情况：包含断点的那些子数组也要考虑，请思考那两个那两个循环为什么那么写？最后逻辑为何正确？

4）动态规划入门思想

没有枚举，num[i]的含义是以下标i结尾的所有子数组中最大的。

遍历数组，对于第i个元素，它的所有子数组下标范围有[1,i],[2,i].....[i-1,i],还有它自己，我们看i-1个元素，他的子数组为[1,i-1],[2,i-1].....[i-1]。请想num[i]的含义，我们求i结尾的，只要把i-1结尾的最大加上i就好了，当然如果i-1结尾最大子数组是负的，i结尾最大子数组就是它本身。

为什么O(N)？时间省在哪里了？我们省掉了许多没必要的计算，计算i时，之前的数组和已经都计算过，朴素算法并没有记录下来，而是重复计算，造成时间浪费。算法优化的过程就是去掉重复计算的过程。

1-2

fun1:时间O(log10,N)，空间O(1)

FUN2:时间O(log10,N)，空间O(log10,N)

第一个函数只是有限几个变量，所以空间O(1),一个循环n每次缩小十倍，时间O(log10,N).

第二个函数递归调用，这个函数没执行完就跳到另外的函数，会压函数栈，空间O(log(10,n)),

而时间还是O(log10,N)，复杂度没变但是时间稍长。

作业完了

我们说拓展：如何求二维数组的最大和子数组？

如果大家看懂了之前的讲解，我给个提示：利用第二个代码和第四个代码思想的结合

解释：

1 2 3 4

-1 -2 1 2

1 3 -2 1

-1 -2 -1 -3

如图是前三行整体最大

怎么做呢？

先用第二个代码的思想，我们进行预处理

每个数代表这一列到这个数位置截止，累加和。

1 2 3 4

0 0 4 6

1 3 2 7

0 1 1 4

然后，我们枚举每一列的起点和终点分别为第0，1，2，3行

然后压缩成一维来做

比如求1-3行的这个矩形，我们拿0和3行减一下就行了

0-1，1-2，1-3，4-4=-1，-1，-2，0就是1-3行压缩后的结果

然后按一维do来做就好

时间复杂度：n行m列：

预处理：每个元素弄一遍，O(N*M)

枚举压缩：起点n个终点n个，数量：O(N^2)，对于每个矩阵，我们压缩为一维，只要减一下就好，O(M)

dp：每个一维O(M)

求最大子长方体或者多维也一样，预处理，三维压二维，二维压一维，按一维dp来做。

算法优化的过程就是去除重复计算过程的过程

想象一下没有预处理没有dp的朴素做法时间是多少？

算法的魅力

以前写过这个问题的总结了，所以这次可能写的有点简单。看不懂再去之前博客找找

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