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本章索引：

从第3章的Logistic回归算法开始，我们一直在讨论分类问题。在各种不同的分类算法中，...，我们一直在讨论如何分类，而没有考虑到分类的效果如何。假设不考虑分类算法本身的思想，运算复杂度等问题，是不是所有的分类效果都是一样的呢？答案是否定的。本章将带领大家一起讨论这个问题，以及由此引出的一类非常重要的分类算法 -- 支持向量机。在录制CS229的时候，吴老师不断强调支持向量机在分类算法问题中的重要性，并认为它在各方面的表现都不比神经网络逊色。不过目前在在人工智能领域貌似是神经网络用的更多一些，不太确定是不是因为这些年神经网络的发展更好，毕竟CS229已经录完10多年了。在求解支持向量机问题的时候，可以使用核函数来提到计算的效率。本章将设计大量的最优化问题，如果最优化的基本问题遗忘的话，建议回去再看一遍番外篇。

1. 最优分类问题的讨论

2. 最优间隔分类器

3. 支持向量机算法

4. 核函数

5. 正规化技术和不可分场景

6. SMO算法

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1. 最优分类问题的讨论

在二分类算法中，我们最终的目的是找到一个超平面来划分两类数据。例如，待分类的样本分布在二维空间，那么超平面就是一条直线；如果是三维空间，那么超平面就是一个平面；一般情况下，对于任意维的空间，我们把这个界限称为超平面。直觉上，越靠近这个超平面的样本点，我们认为它和另一类的距离越近，分类的确定性就越低；越远离超平面的样本点，它的分类确定性就越高。比如下面的图：虽然A和C都属于"X"类，但我们认为A属于"X"类的确定性要大于C属于"X"类的确定性。

另一方面，如果分界超平面再向右上移动一些，那么有可能C就被分到"O"类中了。很明显C距离"X"类更近一些，它更应当被分到"X"类。把C分到"O"类的超平面不是一个好的分界超平面。正如本章索引中提到的，我们的确需要关注分类算法的效果，使得分界超平面的位置能更好的区分两类样本。什么叫更好的分类的效果呢？之前也提到了，我们对A属于"X"类非常确信，因为它更远离分界超平面。因此，直觉上，如果一个分界超平面能尽可能的原理样本点，那么它的分类效果就非常的好。

下面让我们用数学语言来描述这一结论。

为了更好的表示支持向量机算法，我们需要对之前用在分类算法中的表达式做一些修改：

 (1) 我们用$y\in\{-1,1\}$来表示二分类算法中的标签，代替了以前的$y\in\{0,1\}$。并用$y=1$表示上图中的“X"类，用$y=-1$表示"O"类。

 (2) 我们丢弃$x_0=1$的假设和$\theta_0x_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2 = \sum_{i=0}^n \theta_ix_i = \theta^Tx$的表示方法，改为$b+\theta_1x_1+\theta_2x_2 = b + \sum_{i=1}^n \theta_ix_i = w^T +b$的形式，其中$w=[\theta_1,\cdots,\theta_n]^T$。也就是说，我们现在把截距单独的拿出来，表示为$b$，并用$w$代替之前的$\theta$。

因此，分类算法的假设$h_\theta(x)$表示为：

\begin{equation} h_{w,b}(x) = g(w^Tx+b) \end{equation}

其中，当$z\geq 0$时$g(z) = 1$；其他情况下 $g(z) = -1$。

下面介绍函数间隔和几何间隔。这两个概念是定量描述分类超平面效果好坏的标准，也不断出现在本章后面的算法中。

对于训练集合中的训练样本$(x^{(i)}, y^{(i)})$，定义$(w,b)$相对于它的函数间隔(Functional Margin)为：

\begin{equation*} \hat{\gamma}^{(i)} = y^{(i)}(w^Tx +b) \end{equation*}

在这个定义下有如下结论：

 (1) 如果$y^{(i)}(w^Tx+b) \ge 0$，那就表明我们对这个训练样本的预测是正确的。（对照上面的图，在二维空间思考下，应该能想明白）

 (2) 如果$y^{(i)} = 1$，为了使函数间隔更大，我们应当让(w^T+b)是一个较大的正数；反之，如果如果$y^{(i)} = -1$，为了使函数间隔更大，我们应当让(w^T+b)是一个较大的负数。

结论(2)使得我们不好直接用函数间隔来衡量超平面的分类效果。我们上面讲过，对于$g(z)$，当$z\geq 0$时$g(z) = 1$；其他情况下 $g(z) = -1$。只有$z$的正负会影响$g$的取值，因此，我们完全可以任意缩放$(w,b)$而不影响$g$和$h_\theta(x)$的取值，因为$g(w^Tx+b) = g(2w^Tx+2b)$，结果就是我们总可以取到无限大的函数间隔。

这是针对一个训练样本的函数间隔的定义。针对整个训练集合，我们定义函数间隔为；

\begin{equation*} \hat{\gamma} = \mathop{min}\limits_{i=1,\cdots,m}\hat{\gamma}^{(i)} \end{equation*}

对于训练集合中的训练样本$(x^{(i)}, y^{(i)})$，定义$(w,b)$相对于它的几何间隔(Geometric Margin)为：

\begin{equation*}
\gamma^{(i)} = y^{(i)}((\frac{w}{\Vert w \Vert})^T x^{(i)} + \frac{b}{\Vert w \Vert})
\end{equation*}

我们借助下图来解释它的意义：

假设我们想计算样本点A $(x^{(i)}, y^{(i)}$到超平面的几何距离$\gamma^{(i)}$，也就是线段AB。图中的分类超平面其实就是$w^Tx+b=0$，这个超平面的法向量是$w$，单位法向量是$w/\Vert w \Vert$。由于点A代表$x^{(i)}$，因此B为: $x^{(i)} - \gamma^{(i)} \cdot w/\Vert w \Vert$。同时，B也在超平面$(w^Tx+b)$上，故带入，有

\begin{equation*}
w^T(x^{(i)} - \gamma^{(i)} \frac{w}{\Vert w \Vert}) + b =0
\end{equation*}

解出$\gamma^{(i)}$，就可得到：

\begin{equation*}
\gamma^{(i)} = (\frac{w}{\Vert w \Vert})^T x^{(i)} + \frac{b}{\Vert w \Vert}
\end{equation*}

上面只是考虑了$y=1$的情况，如果推广到一般情况，那么就得到了上面几何间隔的定义：

\begin{equation*}
\gamma^{(i)} = y^{(i)}((\frac{w}{\Vert w \Vert})^T x^{(i)} + \frac{b}{\Vert w \Vert})
\end{equation*}

从几何间隔的定义可以得到几何间隔的重要性质：我们可以任意缩放$w$和$b$，而不改变几何间隔。

观察下函数间隔和几何间隔之间的关系，很明显，如果$\Vert w \Vert = 1$，那么几何间隔就等于函数间隔。

最后，把几何间隔的定义推广到整个训练集合的几何间隔，类似于有函数间隔，我们有：

\begin{equation*} \gamma = \mathop{min}\limits_{i=1,\cdots,m} \gamma^{(i)} \end{equation*}

总结：上面的讨论告诉我们，分类算法不仅要保证分类的正确性，还要进一步保证对于分类结果的确定程度。我们定义了函数间隔和几何间隔来定量描述分类的确定程度。

2. 最优间隔分类器

在上节的讨论中了解到，为了得到最好的分类效果，我们应当寻找一个几何间隔尽可能大的判决边界。用最优化的思想来描述这种需求。

假设训练集合是线性可分的，那么上面的需求等价于下面的最优化问题：

\begin{equation*}
max_{\gamma,w,b}\ \ \gamma
\end{equation*}

\begin{equation*}
s.t.\ \ y^{(i)}(w^T x^{(i)} + b) \geq \gamma, \ i=1,\cdots,m
\end{equation*}

\begin{equation*}
\Vert w \Vert =1
\end{equation*}

目标函数的目的是最大化$\gamma$，使得训练集合中所有训练样本的函数间隔都大于$\gamma$，且$\Vert w \Vert =1$。约束$\Vert w \Vert =1$的目的是使得函数间隔等于集合间隔。如果能求解这个最优化问题，那么最优间隔分类器的就得到了。

事与愿违，问题中的等式约束条件$\Vert w \Vert =1$是一个非常讨厌的非凸约束，我们无法对问题进行有效的求解。因此，我们改写上述问题：

\begin{equation*}
max_{\gamma,w,b}\ \ \frac{\hat{\gamma}}{\Vert w \Vert}
\end{equation*}

\begin{equation*}
s.t.\ \ y^{(i)}(w^T x^{(i)} + b) \geq \hat{\gamma}, \ i=1,\cdots,m
\end{equation*}

这里，我们改为优化$\frac{\hat{\gamma}}{\Vert w \Vert}$。这个问题和上一个问题是等价的，只是摆脱了$\Vert w \Vert =1$这个非凸约束。然而，目标函数$max_{\gamma,w,b}\ \ \frac{\hat{\gamma}}{\Vert w \Vert}$仍然是一个非凸函数，因此这也不是一个凸优化问题（可曾记得，凸优化问题要求目标函数和约束条件都是凸函数？）。

既然还是不行，那我们再进一步。记得之前的结论吧，我们可以任意缩进$w$和$b$，这并不会改变几何间隔的大小。那就开干，在上面优化问题的基础上，我们缩进$w$和$b$，直到函数间隔$\hat{\gamma}=1$。现在好了，本来待优化的目标函数是$\frac{\hat{\gamma}}{\Vert w \Vert}$，现在分子被我们缩进成了1，我们优化的目标就变成了最大化$\frac{1}{\Vert w \Vert}$。等价的，我们可以转化为下列优化问题：

\begin{equation*}
min_{\gamma,w,b}\ \ \frac{1}{2}{\Vert w \Vert}^2
\end{equation*}

\begin{equation*}
s.t.\ \ y^{(i)}(w^T x^{(i)} + b) \geq 1, \ i=1,\cdots,m
\end{equation*}

这下，目标函数和约束条件都是凸函数了，可以用很多软件直接进行无定制化的求解。

3.支持向量机算法

到这里，最优间隔分类器的问题应该是已经结束了，我们还要继续做什么呢？我们能做的，就是继续为算法寻找更高效的求解方法。继续前进需要了解拉格朗日乘数法，这是一种凸优化问题的求解方法，我把它贴在这里。请确保你完全看明白了再继续。

回到我们的上节最后的优化问题：

\begin{equation*}
min_{\gamma,w,b}\ \ \frac{1}{2}{\Vert w \Vert}^2
\end{equation*}

\begin{equation*}
s.t.\ \ y^{(i)}(w^T x^{(i)} + b) \geq 1, \ i=1,\cdots,m
\end{equation*}

把约束条件写成函数$g_i(w)$，即

\begin{equation*} g_i(w) = -y^{(i)}(w^T x^{(i)} +b) +1 \leq 0 \end{equation*}

根据KKT对偶补充条件，只有使得$g_i(w)=0$的样本点，才能有$\alpha_i \ge 0$。$g_i(w)=0$意味着函数间隔$-y^{(i)}(w^T x^{(i)} +b)$取到了最小值1，如下图虚线上的三个点(两个"X"和一个"O")。只有这三个训练样本对应的的$\alpha_i$是非0的。这三个点就称为支持向量。一般来讲，支持向量的数量是很少的。

正如我们在介绍拉格朗日乘数法的对偶形式时用的内积一样，现在让我们把我们的算法也写成内积的形式，这对我们后面的核函数来说是很重要的一步。

构建拉格朗日算子如下：

\begin{equation*}
\mathcal{L} (w,b,\alpha) = \frac{1}{2} {\Vert w \Vert}^2 - \sum_{i=1}^m \alpha[y^{(i)}(w^T x^{(i)} + b) - 1]
\end{equation*}

让我们来找到上述问题的对偶形式。为了得到对偶形式，我们需要先找到合适的$w$和$b$，使得$\mathcal{L} (w,b,\alpha) $最小化，并得到$\theta_D$。

对$w$和$b$求偏导即可，然后让偏导数等于零即可：

\begin{equation*}
\nabla \mathcal{L} (w,b,\alpha) = w - \sum_{i=1}^m \alpha_i y^{(i)} x^{(i)} = 0
\end{equation*}

求解，得到：

\begin{equation*}
w= \sum_{i=1}^m \alpha_i y^{(i)} x^{(i)}
\end{equation*}

我们把w带入拉格朗日乘数，然后化简，得到：

\begin{equation*}
\mathcal{L} (w,b,\alpha) = \sum_{i=1}^m \alpha_i - \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^m y^{(i)} y^{(j)} \alpha_i \alpha_j (x^{(i)})^T x^{(j)} - b\sum_{i=1}^m \alpha_i y^{(i)}
\end{equation*}

然后再对$b$求偏导：

\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial b} \mathcal{L} (w,b,\alpha) = \sum_{i=1}^m \alpha_i y^{(i)} = 0
\end{equation*}

对比上一个式子，它的最后一项就是0。所以得到以下结果：

\begin{equation*}
\mathcal{L} (w,b,\alpha) = \sum_{i=1}^m \alpha_i - \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^m y^{(i)} y^{(j)} \alpha_i \alpha_j (x^{(i)})^T x^{(j)} 
\end{equation*}

然后，我们把$\alpha_i \geq 0$和对$b$的偏导的结果放在一起，就有下面的对偶优化问题：

\begin{equation*}
max_\alpha \ \ W(\alpha) = \sum_{i=1}^m \alpha_i - \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^m y^{(i)} y^{(j)} \alpha_i \alpha_j \langle x^{(i)}, x^{(j)} \rangle
\end{equation*}

\begin{equation*}
s.t.\ \ \alpha_i \geq 0, \ i=1,\cdots,m
\end{equation*}

\begin{equation*}
\sum_{i=1}^m \alpha_i y^{(i)} = 0
\end{equation*}

我们可以解决这个对偶问题，就等于解决了原问题。在上面这个优化问题中，待优化的参数是$\alpha$，如果我们可以直接求出$\alpha$，那么我们可以用公式9去找到最优的$w$(作为$\alpha$的函数)，然后再用原问题最优的b：

\begin{eqnarray*}
w^T x +b & = & (\sum_{i=1}^m \alpha_i y^{(i)} x^{(i)}) ^T x + b \\
& = & \sum_{i=1}^m \alpha_i y^{(i)} \langle x^{(i)} ,x \rangle + b
\end{eqnarray*}

观察一下公式(9)，我们发现，$w$的值之和$\alpha$有关。如果已经根据训练集合建立了模型，那么当我们有新的样本$x$需要预测时，我们要计算$w^T x +b $，然后如果结果大于0，就断定$y=1$：

\begin{eqnarray*}
w^T x +b & = & (\sum_{i=1}^m \alpha_i y^{(i)} x^{(i)}) ^T x + b \\
& = & \sum_{i=1}^m \alpha_i y^{(i)} \langle x^{(i)} ,x \rangle + b
\end{eqnarray*}

因此，如果我们能得到$\alpha$，那么我们只需要计算$x$和训练集合中的其他样本的内积即可。另外，之前也提到了，除了少量的支持向量，其他的$\alpha$都是0，因此，我们只需要计算$x$和支持向量之间的内积。

总结：我们深入研究原问题的对偶问题，得到了很多有用的结论。最重要的是，我们最终把问题转化成了特征向量之间的内积形式。这就是支持向量机算法。在下一部分，我们介绍核函数，它可以帮助我们高效的解决支持向量机算法，并且可以求解高维甚至无限维问题。

4. 核函数

回想我们在线性回归课程中的一个例子，我们用住房面积$x$估计房屋价格的时候，曾经用二次曲线$y=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2$来做拟合。本来只有一个输入变量$x$的问题转化成了多个，这里是两个。某些场景下，我们需要做这种输入特征的映射，比如训练集合用三次方曲线建模时更好，我们就定义这样的映射为$\phi$，$\phi:\  \mathbb{R} \mapsto mathbb{R}^3 $：

\begin{equation*} \phi(x) = \begin{bmatrix} x \\ x^2 \\ x^3 \end{bmatrix} \end{equation*}

在这里，如果我们把回归问题改成分类问题，例如根据房屋面积判断房屋在六个月内是否能卖出去，那么我们可以用支持向量机算法来计算。之前我们讨论的支持向量机算法中，输入变量都是标量$x$，现在都替换成了三维向量$\phi(x)$，之前支持向量机算法中的内积$\langle x,z \rangle$也要替换成$\langle \phi(x), \phi(z) \rangle$。一般来讲，给定一个映射$\phi$，我们定义相应的核函数为$K(x,z) = \phi(x)^T \phi(x)$。因此，所有内积$\langle x,z \rangle$都可以替换成核函数$K(x,z)$。

此时，给定$\phi$，我们可以很容易的得到$\phi(x)$和$\phi(z)$，然后求内积从而计算出$K(x,z)$。神奇的是，有时候计算$K(x,z)$是很容易的，反而计算$\phi(x)$是很难的，比如映射的维数很高的时候。在这种情况下，我们可以用核函数$K(x,z)$很容易的计算出高维空间的支持向量机，而不用去计算映射$\phi(x)$。

来看一个具体的例子，假设$x, z \in \mathbb{R}^n$，核函数为$K(x,z)$ =(x^Tz)^2,即

\begin{eqnarray*}
K(x,z) & = & (\sum_{i=1}^n x_i z_i)(\sum_{j=1}^n x_j z_j) \\
& = & (\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i x_j z_i z_j \\
& = & (\sum_{i,j=1}^n (x_i x_j) (z_i z_j) \\
& = & \langle (\phi(x))^T,(\phi(x)) \rangle
\end{eqnarray*}

因此，$K(x,z)=\phi(x)^T \phi(z)$，其中，$n=3$时的映射$\phi$是：

\begin{equation*} \phi(x) = \begin{bmatrix} x_1 x_1 \\ x_1 x_2 \\ x_1 x_3 \\ x_2 x_1 \\ x_2 x_2 \\ x_2 x_3 \\ x_3 x_1 \\ x_3 x_2 \\ x_3 x_3 \end{bmatrix} \end{equation*}

我们注意到，计算高维的$\phi(x)$需要$O(n^2)$的时间复杂度，但是计算$K(x,z)$只需要$O(n)$的时间复杂度。

再来看另一个相关的核函数：

\begin{eqnarray*}
K(x,z) & = & (x^T z + c)^2 \\
& = & \sum_{i,j=1}^n(x_i x_j) (z_i z_j) + \sum_{i=1}^n (\sqrt{2c}x_i) (\sqrt{2c} z_i) + c^2
\end{eqnarray*}

$n=3$时的映射是：

\begin{equation*} \phi(x) = \begin{bmatrix} x_1 x_1 \\ x_1 x_2 \\ x_1 x_3 \\ x_2 x_1 \\ x_2 x_2 \\ x_2 x_3 \\ x_3 x_1 \\ x_3 x_2 \\ x_3 x_3 \\ \sqrt{2c}x_1 \\ \sqrt{2c}x_2 \\ \sqrt{2c}x_3 \\ c \end{bmatrix} \end{equation*}

这样可以用参数$c$控制着$x_i$和$x_i x_j$之间的相对权重。

一般来讲，核函数$K(x,z) = (x^T z + c)^d对应着$ \begin{pmatrix} n+d \\ d \end{pmatrix}$维的映射，计算它的时间复杂度是$O(n^d)$，而计算核函数$K(x,z)$的时间复杂度却仍然是$O(n)$，且完全不涉及高维向量的计算。

下面来讨论核函数的选择相关的直觉（不一定完全正确）。如果$\phi(x)$和$\phi(z)$是足够相近的，那么$K(x,z)=\phi(x)^T \phi(z)$的值应该很大。反之，如果$\phi(x)$和$\phi(z)$不相近，类似于正交关系，那么$K(x,z)=\phi(x)^T \phi(z)$应该接近于0。所以，我们可以认为$K(x,z)$是$\phi(x)$和$\phi(z)$相似程度的大致估计。

我们可以根据上述直觉提出一些靠谱的核函数：

\begin{equation*} K(x,z)=exp(\ \frac{{\Vert x-z \Vert}^2}{2\sigma^2}) \end{equation*}

很容易看出来，如果$x$和$z$比较接近的话，它的值为1；反之，则值为0。这个核函数叫高斯核函数，它对应的映射$\phi$是无限维的。

如何判断是一个核函数是合法的呢？

假设$K$的确是一个合法的核函数，它对应的映射是$\phi$。对于训练集合$\{ x^{(1)},\cdots, x^{(m)} \}$,定义一个$m \times m$的矩阵K，它的第$(i,j)$个元素的值$K_{i,j} = K(x^{(i)}, x^{(j)} )$。这个矩阵K称为核矩阵（表示方法有点混乱，都是用K表示，但一个是函数，一个是矩阵）。

根据假设，$K$是一个合法核函数，那么必有 $K_{ij} = K(x^{(i)}, x^{(j)}) = \phi(x^{(i)})^T \phi(x^{(j)}) = \phi(x^{(j)})^T \phi(x^{(i)}) = K(x^{(j)}, x^{(i)}) = K_{ji}$，即$K$是一个对称矩阵。

用$\phi_k(x)$表示向量$\phi(x)$的第$k$个坐标，对于任意向量$z$，都有：

\begin{eqnarray*}
z^T K z & = & \sum_i \sum_j z_i K_{ij} z_j \\
& = & \sum_i \sum_j z_i \phi(x^{(i)})^T \phi(x^{(j)}) z_j \\
& = & \sum_i \sum_j z_i \sum_k \phi_k(x^{(i)}) \phi_k(x^{(j)}) z_j \\
& = & \sum_k \sum_i \sum_j z_i \phi_k(x^{(i)}) \phi_k(x^{(j)}) z_j \\
& = & \sum_k (\sum_i z_i \phi_k(x^{(i)}))^2 \\
\geq 0
\end{eqnarray*}

也就是说，对于任意的$z$，都有$K \geq 0$。总结成以下结论：

Mercer定理：给定$K: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}$. K是合法核函数的充要条件是对于任意的$\{ x^{(1)},\cdots, x^{(m)} \}, (m \le \infty)$，对应的核矩阵是对称半正定的。

5. 正则化和线性不可分

直到现在，在我们的假设中，训练集合都是线性可分的。支持向量机算法可以把特征映射到高维，将一些线性不可分的问题转换为线性可分的问题，但我们很难保证总是这样。此外，某些情况下，我们也不希望找出精确的分界平面，例如，下图中的左图展示了一个最优间隔分类器；但当训练集合中混入了一些离群点时，我们找到的最优间隔分类器其实很糟糕，它与样本点之间的间隔很小。

为了解决这类线性不可分问题，我们重构了算法：

\begin{equation*}
min_{\gamma,w,b} \ \ \frac{1}{2} {\Vert w \Vert}^2 + C \sum_{i=1}^m \xi_i
\end{equation*}

\begin{equation*}
s.t. \ \ y^{(i)}(w^T x^{(i)} + b ) \geq 1-\xi_i, \ i=1,\cdots,m
\end{equation*}

\begin{equation*}
\xi_i \geq 0,\ i=1,\cdots,m
\end{equation*}

在函数间隔相关的约束条件上增加了一个惩罚量$\xi_i$ ($L1$正则化)，使得函数间隔有可能小于1了（回想，原版的支持向量机算法中，函数间隔最小只能等于1）。并且，如果惩罚项$\xi_i \ge 1$，函数间隔可能是负数。我们之前提过，如果函数间隔$y^{(i)}(w^T x^{(i)} + b ) \ge 0$则表示分类正确。可能出现小于0的函数间隔也就意味着，我们允许分类错误的样本点出现，这可以很好的应对上图中的情形。

这是一个凸优化问题，我们用之前讲过的对偶问题的方式来求解。写出拉格朗日算子：

\begin{equation*}
\mathcal{L} (w,b,\xi,\alpha,\gamma) = \frac{1}{2}w^Tw + C\sum_{i=1}^m \xi_i - \sum_{i=1}^m \alpha_i [y^{(i)} (x^Tw+b)-1 + \xi_i] - \sum_{i=1}^m r_i \xi_i
\end{equation*}

推导出它的对偶形式：

\begin{equation*}
max_\alpha W(\alpha) = \sum_{i=1}^m \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^m y^{(i)} y^{(j)} \alpha_i \alpha_j \langle x^{(i)}, x^{(j)} \rangle
\end{equation*}

\begin{equation*}
s.t. \ \ 0 \leq \alpha_i \leq C, \ i=1,\cdots,m
\end{equation*}

\begin{equation*}
\sum_{i=1}^m \alpha_i y^{(i)} = 0
\end{equation*}

注意到，在做了$L1$正则化以后，对偶问题唯一的改变就是约束条件从$0 \leq \alpha$变成了 $0 \leq \alpha \leq C$。KKT对偶补充条件是：

\begin{equation*}
\alpha_i = 0 \Rightarrow y^{(i)} (w^T x^{(i)} + b) \geq 1
\end{equation*}

\begin{equation*}
\alpha_i = C \Rightarrow y^{(i)} (w^T x^{(i)} + b) \leq 1
\end{equation*}

\begin{equation*}
0 \le \alpha_i \le C \Rightarrow y^{(i)} (w^T x^{(i)} + b) = 1
\end{equation*}

6. 顺序最小优化算法

先介绍坐标上升法：

假设我们要优化一个无约束问题：

\begin{equation*}
\max_\alpha W(\alpha_i, \alpha_2, \cdots, \alpha_m)
\end{equation*}

方法是描述如下：

Loop until convergence: {

For $i=1,\cdots,m,${

$alpha_i := argmax_{\hat{alpha}_i}\ W(\alpha_i,\cdots,\alpha_{i-1}, \hat{\alpha}_i, \alpha_{i+1},\cdots, \alpha_m)$

}

}

解释：每次迭代，坐标上升法保持所有$\alpha$固定，除了$\alpha_i$。然后相对于这个参数使函数取最大值。结合下面的图再直观的理解一下：

假设只有两个$\alpha$，用横坐标表示$\alpha_1$，纵坐标表示$\alpha_2$，因为每次迭代都是只改变一个$\alpha$，故优化的轨迹方向都是与坐标轴平行的。

回到上节的优化问题，让我们来用坐标上升法计算：

\begin{equation*}
max_\alpha W(\alpha) = \sum_{i=1}^m \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^m y^{(i)} y^{(j)} \alpha_i \alpha_j \langle x^{(i)}, x^{(j)} \rangle
\end{equation*}

\begin{equation*}
s.t. \ \ 0 \leq \alpha_i \leq C, \ i=1,\cdots,m
\end{equation*}

\begin{equation*}
\sum_{i=1}^m \alpha_i y^{(i)} = 0
\end{equation*}

注意约束 $\sum_{i=1}^m \alpha_i y^{(i)} = 0$，如果我们直接应用坐标上升法，固定所有的$\alpha$除了$\alpha_i$，只改变$\alpha_i$，那么... 我岂不是连$\alpha_i$都不能改变了？怎么优化啊？所以，要对初始的算法做一些调整，每次改变两个$\alpha$值。这个算法就称为序列最小优化算法(Sequential Minimal Optimizaiton, SMO)，最小的意思是我们希望每次该表最小数目的$\alpha$。这个算法的效率非常高，与牛顿法比较的话，它收敛所需的迭代次数会比较多，但每次迭代的计算代价通常比较小。

Repeat till convergence {
1. Select some pair $\alpha_i$ and $\alpha_j$ to update next (using a heuristic that tries to pick the two that will allow us to make the biggest progress towards the global maximum).
2. Reoptimize $W(\alpha)$ with respect to $\alpha_i$ and $\alpha_j$, while holding all the other $\alpha_k’s (k \neq i, j) fixed.
}

我们只要一直运行算法，直到满足上一节的收敛条件即可。问题是，算法的第2步要求优化$W$，我们应该怎样做呢？下面以$\alpha_1$和$\alpha2$为例来讲解这个过程。

根据约束条件，有

\begin{equation*} \alpha_1 y^{(1)} + \alpha_2 y^{(2)} = -\sum{i=3}^m \alpha_i y^{(i)} \end{equation*}

由于等式右边是固定的，我们就简单的把它记为一个常数$\zeta$，即

\begin{equation*}\alpha_1 y^{(1)} + \alpha_2 y^{(2)} = \zeta \end{equation*}

这是一个约束。还一个约束是

\begin{equation*}
0 \le \alpha_i \le C
\end{equation*}

把可选区域画成图，如下：

从图中可以看出，$\alpha_2$的取值范围是$[L, H]$，否则，$(\alpha_1, alpha_2)不可能同时满足上面两个约束$。

根据公式$ \alpha_1 y^{(1)} + \alpha_2 y^{(2)} = \zeta $，我们可以把$\alpha_1$写成$\alpha_2$的函数：

\begin{equation*} \alpha_1 = ( \zeta - \alpha_2 y^{(2)}) y^{(1)}. \end{equation*}

然后，有$W(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m) = W((\zeta - \alpha_2 y^{(2)}) y^{(1)}, \alpha_2, \cdots, \alpha_m) $。把$\alpha_3,\cdots, \alpha_m$看做常数，可以看出这只是$\alpha_2$的二次函数。如果没有取值范围$[L, H]$的限制的话，只要求导数然后让它为0即可，定义得到的值为$\alpha_2^{new, unclipped}$。再结合取值范围$[L, H]$的限制，最终的优化结果为：

$$ \alpha_2^{new}=\left\{
\begin{array}{rcl}
H & & {\alpha_2^{new, unclipped} \ge H}\\
\alpha_2^{new, unclipped} & & {L \leq \alpha_2^{new, unclipped} \leq H} \\
L & & {\alpha_2^{new, unclipped} \le L}
\end{array} \right. $$