Codeforces 899D Shovel Sale

2024-04-16 07:14:34

题目大意

给定正整数 $n$（$2\le n\le 10^9$）。
考虑无序整数对 $(x, y)$（$1\le x,y\le n, x\ne y$）。
求满足「$x+y$ 结尾连续的 9 最多」的数对 $(x,y)$ 的个数。

例子：
$n=50$，$(49,50)$ 是一个满足条件的数对。

比赛时我的思路

首先注意到，「两个正整数的和」的结尾的连续的 9 一定不包含进位的贡献，也不产生进位。

首先考虑（数对的和的）结尾最多有几个连续的 9 。不难得出：
设 $n$ 的位数为 $k$ ，令 $x=5\times 10^{k-1}$ 。
若 $n\ge x$，则和的结尾最多有 $k$ 个连续的 9 。
若 $n=10^{k} - 1$，满足条件的数对有 $n - x$ 个，否则有 $n-x+1$ 个。

若 $n < x$ ，数对之和的第 $k$ 位一定小于 $9$，故结尾至多有 $k-1$ 个连续的 9 。

若 $k-1=0$，则为平凡情形。
考虑 $k\ge 2$ 的情形。
设 $n$ 的第 $k$ 位上的数字为 $h(n)$，显然有 $h(n) > 0 $ 。

考虑数对 $(x,y)$（$x>y$），设 $x$ 的第 $k$ 位上的数字为 $h(x)$ 。
将所有满足条件的数对 $(x,y)$ 分成下列若干类：

$h(n)>h(x)=h(y)=0$
$h(n)>h(x) = h(y) > 0$
$h(n)>h(x) > h(y)>0$
$h(n)>h(x) > h(y)=0$
$h(n)=h(x) > h(y) > 0$
$h(n) = h(x) > h(y) = 0$
$h(n) = h(x)= h(y) $

在比赛中，我没考虑到上述第 7 种情况。

总结

本题的思维方式：分类。

实现技巧：
求一个正整数 $n$ 的位数可用 to_string(n).size() 。

转载于:https://www.cnblogs.com/Patt/p/8053576.html

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