【视觉算法】霍夫变换(Hough Transform)

在进入正题之前，首先思考一个问题，在下图中，我们如何从散乱的点中寻找到直线？

有多少直线？哪些点属于哪些直线？
如果是找圆形呢？
霍夫变换(Hough Transform)能很好的解决这些问题，要理解霍夫变换，首先要知道霍夫空间，看下图：

可以看到，霍夫空间实际上是参数空间，在上图的变换中，图像空间中的直线的斜率和截距是未知参数，由这两个未知参数构造的空间就是对应的霍夫空间。图像空间中的一条直线，对应霍夫空间中的一点；霍夫空间中的一条直线，对应图像空间中的一点，这就是对偶性，很容易理解。
那么如果图像空间中有两个点呢？看下图：

现在思考一个问题：什么样的直线经过图像空间中的两这个点呢？显然，它是霍夫空间中对应两条线的交点，即具有同样斜率和截距的直线。

这就是我们找到直线的方法，是不是显得有些多余？问题复杂些，极其好用！重新思考文章开头的问题，我们把这些点变换到霍夫空间，看下图(这里只是演示)：

并用一些网格来划分霍夫空间：

对于每一个网格，我们对经过该网格的直线数目进行计数(投票)，设定一个阈值，票数大于该阈值的网格，我们就认为该网格代表图像空间中的一条直线(阈值大一些，由数目较少的点构成的直线被忽略)，见下图：

上图霍夫空间中画圈的网格与图像空间中的直线是对应的。
至此，我们已经对霍夫变换有了一定的认识，现在考虑一个特殊情况：如果直线是垂直于x轴的，即斜率为无限，怎么办？
为了避免出现这个问题，改用极坐标形式：

由直线的斜截式，很容易推出：

于是，有：

x，y是已知的，r和θ的关系显而易见；再根据r和θ构建霍夫参数空间即可。
下面简单分析一下经典霍夫变换的复杂度，霍夫空间的维数是由未知参数的个数确定的，一般来讲，空间复杂度为O(Kⁿ)，其中K是单维度的区间划分个数，n是未知参数的个数。
经典的霍夫变换能够解决可解析图形(直线、圆、椭圆，球，等)的识别问题，那么对于不可解析的不规则图形呢？广义霍夫变换能够解决这个问题。
下一篇文章学习广义霍夫变换。

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