数位DP———POJ 3208 启示录
POJ3208 启示录
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part.1part.1part.1 引入
这一道题显然是一道数位DP的题目，那么我们先来了解一下什么是数位DP
众所周知
数位DP是与数字相关的一类计数问题，它往往指的是这样的题型：
给定一个闭区间 [l,r][l,r][l,r],让你求这个区间中满足某种条件的数的个数。
对于这类题目，我们通常先用动态规划进行预处理，再基于拼凑思想，用“试填法”求出最终的答案。
part.2part .2part.2具体分析
面对这样的一道题，如果直接每次都枚举到第X个“魔鬼数”，肯定会超时。那么我们思考一下如何解决这个问题呢？
其实，这是一道数位DP的典型例题，根据其通常做法，我们可以打出一个表记录一下魔鬼数的个数，然后通过一些
“玄学 ”的处理，来巧妙计算出第X个“魔鬼数”
part.3part.3part.3 步骤实现
1.1.1. 预处理
我们设F[i,3]F [i,3]F[i,3]表示由i位数字构成的魔鬼数有多少个，
F[i,j](0≤j≤2)F [i,j] (0\le j \le2 )F[i,j](0≤j≤2) 表示由iii位数字构成，开头已经有连续jjj个6的非魔鬼数有多少个。（注意：在计算F时，我们允许前导0存在）。
实际上，在这里**F[i,3]F [i,3]F[i,3] 与 F[i,j]F[i,j]F[i,j]具有的含义是不同的。所以这两者不是以同一种方式转移的**
对于F [i,3i,3i,3] :它代表的是由iii位数字组成含有连续3个6的总方案数，这里的6并不一定从第iii位开始，
然而对于F [i,ji,ji,j] :它代表的是从第iii位开始的有jjj个6的方案数。
那么，在考虑第iii位（最高位）是什么数字时，易得转移方程：
- F[i,0]F [i,0]F[i,0] = 9×9\times9×(F[i−1,0]+F[i−1,1]+F[i−1,2])F[i-1,0]+F[i-1,1]+F[i-1,2])F[i−1,0]+F[i−1,1]+F[i−1,2])
- F[i,1]=F[i−1,1]F [i,1] = F [i-1,1]F[i,1]=F[i−1,1]
- F[i,2]=F[i−1,2]F [i,2] = F [i-1,2]F[i,2]=F[i−1,2]
简要概述一下上述转移方程：
首先，对于j=0j=0j=0 的情况，即第iii位不放6，此时第iii位可以考虑从0∼90\sim90∼9除6以外的所有情况，此时一共有9种选择，而i−1i-1i−1位往后，无论选了一个6 ororor 两个6都可以向此状态转移。
其次，再考虑j=1j=1j=1与j=2j=2j=2的情况，此时就很显然第i−1i-1i−1位必须选一个或者两个，不过多赘述。
LastnottheleastLast\:\:not\:\:the\:\:leastLastnottheleast
F[i,3]F [i,3]F[i,3]的转移就不一样了，它又该分2种情况讨论：
首先，是三个6从第iii位开始往下排，此时应该显然由F[i−1,2]F [i-1,2]F[i−1,2]的方案数转移过来，
然后由于还要继承前i−1i-1i−1位的方案数，
又由于第iii位从0∼90\sim90∼9都可以选，且不会与之前重复，所以应该是10×F[i−1,3]10\times F[i-1,3]10×F[i−1,3]
至此，完成动态规划后，预处理就完成了，我们就可以开开心心，快快乐乐的进入下一步了。
2.2.2. 试填法 解决问题
至此我们从左到右依次考虑每一位，同时记录当前末尾已经有连续的几个6。
从小到大枚举当前数位填的数字，通过预处理的FFF数组来直接计算魔鬼数的个数，与XXX比较即可。
下面就是激动人心的上代码时间了!!!
part.3part.3part.3 CodeCodeCode
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll f[22][4];//
int T,x;
int main() {scanf("%d",&T);f[0][0]=1;for(int i=1; i<=20; i++) {//DP预处理f[i][0]=9*(f[i-1][0] + f[i-1][1] + f[i-1][2]);f[i][1]=f[i-1][0];f[i][2]=f[i-1][1];f[i][3]=f[i-1][2]+10*f[i-1][3];}while(T--) {int m=0;scanf("%d",&x);for(m=3; f[m][3]<x; m++);//枚举来确定第X个魔鬼数的位数m;int k=0;//k表示从i+1位向前有连续k个6；for(int i=m; i>=1; i--)for(int j=0; j<=9; j++) {ll cnt=f[i-1][3];//前i位且第i位为j时的总的方案数； if(j==6 || k==3)for(int l=max(3-k-(j==6),0); l<3; l++) cnt+=f[i-1][l];if(cnt<x)//如果cnt比x小，说明当前位的j小于答案，进行累积并进入下一层； x-=cnt;else {//否则，可确定j为当前的答案； if(k<3) {//当k大于三等于的时候后面无论怎样都是魔鬼数了，就不用考虑当前是否为6了，可以直接记录答案if(j==6)k++;elsek=0;}printf("%d",j);break;}}puts("");}
}P.SP.SP.S
这是本蒟蒻的第一篇题解，写出来还是很激动的，看着这一篇完完整整的题解，很有成就感。谨以这一篇题解纪念我接近一年半的OIOIOI生涯吧。（估计考完就退役了）
还有最后7天就要参加CSP−SCSP-SCSP−S的比赛了，希望RP++!!!RP++!\:!\:!RP++!!!
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