第五十三篇有限元法

有限元方法采用与有限差分完全不同的原理，即选择微分方程在解域的子区间上近似求解。这些子区域被称为“有限单元”，通常局限于简单的形状——三角形或四边形表示平面面积，四面体或六面体(“砖块”)表示体积。这些元素可能有弯曲的边(面)，但通常仅限于线性边和面。
以下图为例，
等效的有限元展示在下图。

该区域被划分为16个等大小的四边形单元(在这种情况下都是正方形)，有25个“节点”，相当于有限差分的“网格点”。在这种情况下，更简单的做法是将所有节点的温度视为“未知数”，即使是在边界上。一个典型的四边形单元如下图所示。
它在角上有4个节点，在单元中未知φ的变化用“形状函数”在局部坐标中描述。使用这些函数，元素的性质被描述为一个矩阵方程，将节点上的输入{q}(在这种情况下，通量等)与一般形式的输出{φ}(温度)值联系起来

其中[kc]为“传导率矩阵”。
如果元素是如下图所示的矩形，则传导率矩阵可以很容易地写成如下的闭合形式

式中kx和ky为x方向和y方向的热导率。

对于当前的例子，进一步用正方形元素(a = b)和各向同性性质(kx = ky)进行简化，得到矩阵方程

为了解决完整的边值问题，必须组装16个[kc]矩阵(包括节点上的求和)，以产生一个矩阵形式的全局方程组

将25个节点温度{Φ}与25个节点净通量{Q}联系起来。净通量向量{Q}是相当稀疏的，仅在温度固定的边界节点上包含非零项。
虽然这个例子没有绝缘(无流动)边界，但如果需要的话，在有限元处理中可以自动满足这些边界。条件φ =常数是通过在线性方程组求解中的“罚”方法来执行的。

程序如下

对之前有限差分的计算实例1进行有限元分析

import numpy as np
import B
g_num=np.zeros((4,16),dtype=np.int64)
kdiag=np.zeros((25),dtype=np.int64)
num=np.zeros((4),dtype=np.int64)
kc=np.zeros((4,4))
loads=np.zeros((25))
print('简单的有限元分析')
kc[0,:]=(4.0,-1.0,-2.0,-1.0)
kc[1,:]=(-1.0,4.0,-1.0,-2.0)
kc[2,:]=(-2.0,-1.0,4.0,-1.0)
kc[3,:]=(-1.0,-2.0,-1.0,4.0)
kc[:]=kc[:]/6.0
def geometry(iel):geometry=np.zeros((4))iq=(iel-1)//4+1;ip=iel-(iq-1)*4geometry[:]=(iq*5+ip,(iq-1)*5+ip,(iq-1)*5+ip+1,iq*5+ip+1)return geometry
for iel in range(1,16):num[:]=geometry(iel)g_num[:,iel-1]=num[:]B.fkdiag(kdiag,num)
for i in range(2,26):kdiag[i-1]=kdiag[i-1]+kdiag[i-2]
kv=np.zeros((kdiag[24]))
for iel in range(1,16):num=g_num[:,iel-1];B.fsparv(kv,kc,num,kdiag)
kv[kdiag[0:4]-1]=kv[kdiag[0:4]-1]+1e20
loads[0:4]=kv[kdiag[0:4]-1]*50.0
kv[kdiag[5:16:5]-1]=kv[kdiag[5:16:5]-1]+1e20
loads[5:16:5]=kv[kdiag[5:16:5]-1]*50.0
kv[kdiag[9:20:5]-1]=kv[kdiag[9:20:5]-1]+1e20
kv[kdiag[21:24]-1]=kv[kdiag[21:24]-1]+1e20
B.sparin(kv,kdiag);B.spabac(kv,loads,kdiag)
print('节点  温度')
for i in range(1,26):print(i,end='  ')print('{:9.4e}'.format(loads[i-1]))

对于节点5和21，选择了预先不设置边界值的情况
终端输出结果如下：

第一大块全部结束。

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