偏微分方程数值解---学习总结(1)

1.知识回顾（注:$\mit V$是线性空间）

内积

$(\cdot ,\cdot):\mit V \times \mit V \longrightarrow \mathbb{R} $ 是一个双线性映射，并且满足 $(i) (u,v)=(v,u), \forall \, u,v \in\mit V$;

$(ii) (u,u) \ge 0, \forall , u \in \mit V $ ; $(iii) (u,u)=0$ 当且仅当 $u=0$.
半范数

$||\cdot||:\mit V \longrightarrow \mathbb{R}$ 是一个线性映射，满足下列条件:
\[ \begin{align} &(i) ||v||\ge 0, \forall \, v \in \mit V;\\ &(ii) ||cv||=|c|||v||,\forall v \in \mit V, \forall c \in \mathbb{R}; \\ &(iii) ||u+v||\leq ||u||+||v||, \forall u, v \in \mit V. \end{align} \]
范数

范数+条件 ”$||u||=0$当且仅当 $u=0$".
范数等价定理：

设 $||\cdot||$ 和 $|||\cdot|||$ 是线性空间 $\mathbf V$ 上两个范数，如果存在两个正数 $c_1$ 和 $c_2，$

满足下列不等式, 则称 $||\cdot||$ 和 $|||\cdot|||$ 是等价的，
\[ c_1 ||v||\leq |||v||| \leq c_2 ||v||, \forall \,c_1,c_2 \in \mathbb{R},\,\forall \,v \in \mit V. \]
内积空间

一个线性空间被赋予内积, 它就是一个内积空间.
- 内积可以产生诱导范数
  \[ ||v||=(v,v)^{1/2},\,\forall \,v \in \mit V. \]
- Schwarz inequality
  \[ |(w,v)|\leq ||w||\,||v||,\, \forall w,v \in \mit V. \]
希尔伯特空间

完备的内积空间是希尔伯特空间 (即内积空间内任意柯西序列都是收敛的).
赋范线性空间

一个线性空间被赋予范数，则它成为赋范线性空间。
- 内积空间一定是赋范线性空间，其范数为 $||v||=(v,v)^{1/2},\,\forall \,v \in \mit V.$
巴拿赫空间

完备的赋范线性空间，即赋范线性空间内任意柯西序列都是收敛的.
- 希尔伯特空间一定是巴拿赫空间。

2. 重要概念

对偶空间
- 如果（$\mit V, ||\cdot||_{\mit V}$）和（$\mit W, ||\cdot||_{\mit w}$）是两个赋范线性空间, 从$\mathbf V$ 到$\mit W$ 的所有线性泛函构成一个赋范线性空间 , 记为 $\scr L(\mit V;\mit W)$ . 对于 $L \in \scr L(\mit V;\mit W)$,定义范数如下：
  \[ ||L||_{\scr L(\mit V;\mit W)}:=\sup_{0\neq v \in \mit V}\frac{||Lv||_{\mit W}}{||v||_{\mit V}}. \]
- 如果$\mit W$ 空间是一个巴拿赫空间，则 $\scr L(\mit V;\mit W)$ 也是一个巴拿赫空间。
- 如果$\mit W=\mathbb{R}$, 则称${\color{Red}\scr L(\mit V;\mathbb{R})}$是 $\mit V$ 的对偶空间，常记为${\color{Red}\mit V'}$.
- 对偶对(duality pairing)满足下列的双线性形式，就被称为 $\mit V$ 和$\mit V'$ 之间的对偶对，
  \[ \begin{align*} <\cdot\,,\,\cdot>&:\mit V' \times \mit V \longrightarrow \mathbb{R}\\ &<L,v>\longmapsto L(v). \end{align*} \]
各种收敛性定义
- 强收敛：
  
  赋范线性空间$\mit V$ 中序列 $\{v_n\}$ 弱收敛于 $v \, \in \mit V$ 是指按范数收敛，即 $||v_n-v||\rightarrow0(n\rightarrow \infty).$
- 弱收敛：
  
  赋范线性空间$\mit V$ 中序列 $\{v_n\}$ 弱收敛于 $v \, \in \mit V$ 是指对任意一个$L\in\mit V'$, 均有 $L(v_n)$ 收敛于$L(v),$ 即 $|L(v_n)-L(v)|\rightarrow0(n \rightarrow \infty).$
- *弱收敛
  
  对偶空间$\mit V’$ 中序列 $\{L_n\}$ 弱收敛于 $L \, \in \mit V'$ 是指对任意一个 $v\in \mit V$, 均有 $||L_n(v)-L(v)||\rightarrow 0(n \rightarrow \infty).$
  - ${\color{Red}\mit V 中强收敛 \Rightarrow 弱收敛.}$
  - ${\color{Red}\mit V' 中弱收敛 \Rightarrow * 弱收敛.}$
$\mit L^{p}(\Omega)$ 空间 $\Omega_{开}\subset \mathbb{R}^{d}$,$d\ge 1$,且 $\Omega$ 是 Lebesgue 可测。
\[ \begin{align*}\mit L^{p} &:=\left\{v\,\,\big|\int_{\Omega}\,\left|v(x)\right|\,^p\,dx \leq \infty \right\},\,1 \leq p\, <\infty,\\ \mit L^{\infty} &:=\sup\left\{|v(x)|, \,\,x\in\Omega \right\}<\infty. \end{align*} \]
其范数为：
\[ \begin{align*}||v||_{\mit L^{p}} &:=\left(\int_{\Omega}\,\left|v(x)\right|\,^p\,dx\right)^{1/p} ,\,1 \leq p\, <\infty,\\ ||v||_{\mit L^{\infty}} &:=\sup\left\{|v(x)|, \,\,x\in\Omega \right\} \end{align*} \]
$\mit L^{2}(\Omega)$ 空间实际上就是希尔伯特空间，其内积为 $(w,v)_{\mit L^{2} (\Omega)}=\int_{\Omega}\,w(x)\,v(x)\;dx$
- $||\cdot||_0=||\cdot||_{\mit L^{2} (\Omega)}$ 记住
- $\mit L^{p}(\Omega)$ 是 $Banach$ 空间, 它的对偶空间为$\mit L^{q}(\Omega)$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,$ 而只有 $\mit L^{2}(\Omega)$ 是Hilbert 空间(对偶空间为本身).
- $H \ddot{o}lder$不等式：$\big|\int_{\Omega}\, w(x)v(x)dx \big|\leq\,||w||_{\mit L^{p}(\Omega)}||v||_{\mit L^{q}(\Omega)},\,\,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$
- $\mit L^{p}(\Omega)$ $ \subset \mit L^{q}(\Omega),,,,q\leq p.$
分布函数（$Distributions$）
- $\mit C^{\infty}_{0}(\Omega)$ 是 $\Omega$ 上具有紧支集(i.e. 存在有界开集$\Omega'\subset \Omega$, $d (\partial\Omega,\Omega)>0$) 无穷维可微函数函数，且在边界上任意阶导数为零, 有时也记成 $\mathcal{D}(\Omega)$.
- $\mathcal{D}(\Omega)$ 中元素的导数 $D^{\alpha}v:=\frac{\partial^{|\alpha|}v}{\partial^{\alpha_1}x_1\partial^{\alpha_2}x_2 \cdots\partial^{\alpha_d}x_d},$ 其中 $|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_d.$
- $v_n \in \mathcal{D}(\Omega)$ 收敛于 $v \in \mathcal{D}(\Omega)$ 是指存在一个有界闭子集$K$ 满足对任意一个 $n$，$v_n$在$K$ 外均为0，且对任意非负指标 $\alpha$, 导数 $\mathcal{D}^{\alpha}v$ 一致收敛于$\mathcal{D}^{\alpha}v.$
- 分布函数： $\mathcal{D}(\Omega)$ 的对偶空间中的元素被称为分布函数. 换句话说, 分布就是$\mathcal{D}(\Omega)$ 上的线性泛函，$L \in \mathcal{D'}(\Omega)$ 且 $\forall \,v \in \mathcal{D}(\Omega),$ $L(v)=<L,\,v>$ $dualiy \,\,pairing.$
- $\mathcal{D}(\Omega)$ 上的范数，$||v||_k=\sup_{\Omega}|v(x)|, \, v \in\mathcal{D}(\Omega).$(可以自己证明一下)*
- ${\color{Red}分布的导数}$: $\mit L \in \mathcal D'(\Omega)$, $\mit L$ 的 $\alpha=(\alpha_1,\alpha_1,\cdots,\alpha_d)$ 阶导数定义如下：
  \[ \begin{align*} <D^{\alpha}\mit L，v>=(-1)^{|\alpha|}<\mit L,D^{\alpha}v>,\forall\, v\in\mathcal D(\Omega), D^{\alpha }v \in \mathcal D(\Omega) . \end{align*} \]
- 定理1 ：
  
  如果 $\mit L$ 是 $\mathcal D(\Omega)$ 上一个光滑的函数，则分布意义下的导数 $D^{\alpha}\mit L$ 与经典意义下的导数是一致的，即 $D^{\alpha}\mit L=\mit L^{(\alpha)}$.（证明思路利用分部积分)
  
  实际上, 分布的导数就是经典导数的广义导数.
  - 例1 ：$f(x)=|x|,x\in R$， $f\not\in C^{1}(R)，$ 虽然在经典导数意义下$f'$ 在 $x=0$ 处是没有定义的，但是我们却可以得到分布意义下的导数
    \[ D' f=\begin{cases}1 \,\,&x\,\ge0\\-1\,\,&x<0. \end{cases} \]
  - 例2：$D^2f=D^{1}(D^{1}f)$, 对任意 $v\in \mathcal D(R),$
    \[ \begin{align*} <D^{1}(D^{1}f)>&=-<d^{1}f,D^{1}v>\\ &=-\int^{\infty}_{0}D^{1}vdx+\int^{0}_{-\infty}D^{1}vdx\\ &=v(0)+v(0)\\ &=2v(0). \end{align*} \]
    
    实际上，$D^{2}f=\delta_0$, 其中 $\delta_0$ 是 $Dirac$ 函数，定义为 $<\delta_0,v>=2v(0),\forall v\in \mathcal D(\Omega)$.

重要结果：$\mit L^{p}(\Omega) \subset \mathcal{D'}(\Omega)$, but $ \mathcal{D'}(\Omega) \not\subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1.$
```
* step 1 证明 $\forall L \in \mit L^{p}(\Omega) $ 是上的$\mathcal{D}(\Omega)$线性泛函；
```

\[ \begin{align*} L(v)&=<L,v>=\int_{\Omega}L(x)v(x)\,dx,\forall v\, \in \mathcal{D}(\Omega).\\ L(\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2)&=<L,\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2>\\ &=\alpha_1<L,v_1>+\alpha_2<L,v_2>\\ &=\alpha_1L(v_1)+\alpha_2L(v_2),\,\,\,\,\,\,\forall\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R},v_1,v_2 \in\mathcal{D}(\Omega). \end{align*} \]

step 2 证明 $L$ 是连续的，即证 $|L(v)|\leq C||v||_{\mathcal{D}(\Omega)}.$下面我们来证明：

\[ \begin{align*} L(v)&=\int_{\Omega}L(x)v(x)\,dx \leq ||L||_p||v||_q\\ &\leq ||L||_p(\int_{\Omega}|v(x)|^{q}dx)^{\frac{1}{q}}\\ &\leq ||L||_p ||v||_{\mathcal{D}(\Omega)}|\Omega|^{\frac{1}{q}}\\ &\leq C||v||_{\mathcal{D}(\Omega)}. \end{align*} \]

step3 证明 $ \mathcal{D'}(\Omega) \not\subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1.$

对任意 $v\in \mathcal D(\Omega)$, $<\delta_0,v>=v(0).$ 事实上, $\delta_0 $ 是$\mathcal \,D(\Omega)$ 上的连续线性泛函，

\[ \begin{align*} <\delta_0,t_1v_1+t_2v_2>&=(t_1v_1+t_2v_2)(0)\\ &=t_1v_1(0)+t_2v_2(0)\\ &=t_1<\delta_0,v_1>+t_2<\delta_0,v_2>.\\ |<\delta_0,v>|&=|v(0)|\leq ||v||,其中||v|| =\sup_{\Omega}|v(x)|. \end{align*} \]

假设$ \mathcal{D'}(\Omega) \subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1$, 由$Riesz$ 表示定理知，对任意一个 $v\in\mathcal D(\Omega) $, 存在

$w\in\mathcal{D'}(\Omega) $满足下列式子 $\delta_0(v)=<w,v>=\int_{\Omega}w(x)v(x)dx$, 这显然不对，例如

取一个特殊的磨光函数 $v_0$ ,它在 $x=0$ 处取值无穷，在其它位置取值为0.

3. $Sobolve$ 空间

$Sobolve$ 空间是后面学习变分问题以及各种边值问题的基础空间.

$Sobolve$ 空间:

\[ W^{k,p}(\Omega):=\{ v\in\mit L^{p}(\Omega)\big|D^{\alpha}v\in\mit L^{p}(\Omega),\forall\,\alpha \,such\, that\, |\alpha|\leq k\} \\ \text 也就是表示本身及知道 k 阶导数均属于\mit L^{p}(\Omega)的函数空间. \]

$ W^{k,p}_{(\Omega)}$上范数

\[ ||v||_{k,p,\Omega}=||v||_{k,p}=(\sum_{|\alpha|\leq k}||D^{\alpha}v||^{p}_{\mit L^{p}})^{\frac{1}{p}} \]

$ W^{k,p}_{(\Omega)}$ 上半范数
\[ |v|_{k,p,\Omega}=|v|_{k,p}=(\sum_{|\alpha|= k}||D^{\alpha}v||^{p}_{\mit L^{p}})^{\frac{1}{p}} \]
几种重要的特殊情况
\[ \begin{align} d=1,\,\,\, \,W^{k,p}(I)&=\{ v\in\mit L^{p}(I)\big|D^{\alpha}v\in\mit L^{p}(I), \alpha=1,2,\cdots, k\}\\ p=2,\,\,\,\,\,H^{K}(\Omega)&=W^{k,p}(\Omega),\begin{cases} \mbox{范数}||v||_{k }=(\sum_{|\alpha|=k}||D^{\alpha}v||^{2}_0)^{\frac{1}{2}},\\ \mbox{半范数}||v||_{k }=(\sum_{|\alpha|=k}||D^{\alpha}v||^{2}_0)^{\frac{1}{2}} \end{cases}\\ k=0,\,\,\,W^{0,p}(\Omega)&=\mit L^{p}(\Omega). \end{align} \]
$W^{k,p}_{(\Omega)}$ 的闭包

\[ \begin{align} W^{K,P}_0(\Omega)&=\overline{\mathcal{D}(\Omega)}^{||\cdot||_{k,p}}\\ \mit{H}^{k}_{0}(\Omega)&=W^{K,P}_0(\Omega)=\left\{ v\in\mit{H^k}(\Omega) ,\gamma_0(D^{\alpha}v) =0,|\alpha|\leq k-1 \right\}\\ \mit{H}^1_0(\Omega)&=\left\{v\in\mit{ H}^1(\Omega),v\big|_{\partial\Omega}=0\right\} \end{align} \]

转载于:https://www.cnblogs.com/Merles/p/9911840.html