Hihocoder 1430 A Boring Problem （数论）

Problem

对于数字串 S ，S[l]S[l] 表示串 S 的第 l 个数字（ l 从 1 开始标记）。

F(j, i)=(Σil=jS[l])F(j,\ i) = (\Sigma_{l=j}^iS[l])

对于每个 i ，求 Σij=1F(j, i)\Sigma_{j=1}^iF(j, \ i)

限制条件

T ≤ 5

N ≤ 50000

k ≤ 100

解题思路

模拟暴力求每一项的结果：

第一项：(S1)k(S_1)^k

第二项：(S1+S2)k+(S2)k(S_1+S_2)^k+(S_2)^k

第三项：(S1+S2+S3)k+(S2+S3)k+(S3)k(S_1+S_2+S_3)^k+(S_2+S_3)^k+(S_3)^k

…

这样的复杂度将达到 O(N2×logK)O(N^2\times \log{K}) ，即使通过预处理出 45 万数（最大前缀和）的 K 次结果，复杂度仍将有 O(N2)O(N^2)

考虑前缀和表示结果

第一项：(Pre1−Pre0)k(Pre_1-Pre_0)^k

第二项：(Pre2−pre0)k+(Pre2−Pre1)k(Pre_2-pre_0)^k+(Pre_2-Pre_1)^k

第三项：(Pre3−Pre0)k+(Pre3−Pre1)k+(Pre3−Pre2)k(Pre_3-Pre_0)^k+(Pre_3-Pre_1)^k+(Pre_3-Pre_2)^k

…

将其展开：

第一项：C0kPrek1+C1kPrek−11(−Pre0)1+...+CkkPre01(−Pre0)kC_k^0Pre_1^k+C_k^1Pre_1^{k-1}(-Pre_0)^1+...+C_k^kPre_1^{0}(-Pre_0)^k

第二项：C0kPrek2+C1kPrek−12(−Pre0−Pre1)1+...+CkkPre02(−Pre0−Pre1)kC_k^0Pre_2^k+C_k^1Pre_2^{k-1}(-Pre_0-Pre_1)^1+...+C_k^kPre_2^0(-Pre_0-Pre_1)^k

第三项：C0kPrek3+C1kPrek−13(−Pre0−Pre1−Pre2)1+...+CkkPre03(−Pre0−Pre1−Pre2)kC_k^0Pre_3^k+C_k^1Pre_3^{k-1}(-Pre_0-Pre_1-Pre_2)^1+...+C_k^kPre_3^0(-Pre_0-Pre_1-Pre_2)^k

将 Pre0+Pre1+...+PrejPre_0+Pre_1+...+Pre_j 记作 PPrevjPPrev_j ，预处理出所有的 PPrevjPPrev_j 。

对每一项乘法求解的复杂度为 O(K)O(K) 。整体复杂度为 O(N×K)O(N\times K)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
int T, N, k;
long long pre[50010][110], pprev[50010][110], c[110][110];
char s[50010];
void init(){c[0][0]=1;for(int i=1;i<=100;++i){c[i][0]=c[i][i]=1;for(int j=1;j<i;++j)(c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j]) %= mod;}
}
int main()
{   init();scanf("%d", &T);while(T--){scanf("%d %d %s", &N, &k, s+1);for(int i=1;i<=N;i++){pre[i][0] = 1;pre[i][1] = pre[i-1][1] + s[i]-'0';for(int m=2;m<=k;m++)pre[i][m] = (pre[i][m-1] * pre[i][1]) % mod;}for(int i=1;i<=N;i++){for(int m=0;m<=k;m++)(pprev[i][m] = pprev[i-1][m] + (m%2?-1:1) * pre[i][m]) %= mod;}for(int i=1;i<=N;i++){long long ans = 0;for(int m=0;m<=k;m++){ans += c[k][m] * pre[i][k-m] % mod * pprev[i-1][m] % mod + mod;ans %= mod; }printf("%lld%c", ans, i==N?'\n':' ');}}
}

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