2020 ACM-ICPC澳门区域赛 B Boring Problem 主元法

B Boring Problem

题意：
给出n≤100n \le 100n≤100个长度为m≤100m \le 100m≤100的串TiT_iTi和一个串RRR，对每个RRR的前缀，每次在其末尾以PiP_iPi的概率添加字符i≤k≤26i \le k \le 26i≤k≤26，当生成的字符串SSS中存在一个TiT_iTi为SSS的子串时停止，求生成的字符串的期望长度。
题解:
首先有个暴力做法：
对TiT_iTi建立AC自动机，设tri,jtr_{i,j}tri,j表示从节点iii添加字符jjj到达的节点，EiE_iEi表示从节点iii开始，停止时末尾添加字符个数的期望。
最后用字符串RRR跑一边AC自动机计算答案。
在AC自动机上，对于所有叶子节点，Eleaf=0E_{leaf} = 0Eleaf=0；对于所有非叶子节点uuu，转移为Eu=1+∑i=1kPiEtru,iE_u=1 +\sum_{i=1}^kP_iE_{tr_{u,i}}Eu=1+∑i=1kPiEtru,i；注意到转移有环，需要高斯消元，O(nm)O(nm)O(nm)个未知数和等式，复杂度O(n3m3)O(n^3m^3)O(n3m3)。
将未知数个数降为O(n)O(n)O(n)：
设EquationiEquation_iEquationi表示Ei=EquationiE_i=Equation_iEi=Equationi，其中EquationiEquation_iEquationi由常数和O(n)O(n)O(n)个未知数组成。
1.初始化根节点ErootE_{root}Eroot为一个未知数，当前未知数总数为1。
2.按深度递增遍历AC自动机。
3.设当前深度为depdepdep，深度≤dep\le dep≤dep的节点的EquationiEquation_iEquationi都已知；
对于节点uuu，若是叶子结点，则将Eu=0=EquationuE_u=0=Equation_uEu=0=Equationu扔进方程组；
否则，设sonsonson为节点u的所有原字典树的儿子，设sonsonson的大小为szszsz，将其中sz−1sz-1sz−1个EvE_vEv设为新的未知数，此时Equationv=EvEquation_v=E_vEquationv=Ev；并根据上述转移移项可得剩下一个儿子的EquationvEquation_vEquationv,即Equationv=Equationu−1−∑i=1kPiEquationtru,i[tru,i≠v]PvEquation_v=\frac{Equation_u-1-\sum_{i=1}^kP_iEquation_{tr_{u,i}}[tr_{u,i≠v}]}{P_v}Equationv=PvEquationu−1−∑i=1kPiEquationtru,i[tru,i=v]。
转移复杂度O(n2mk)O(n^2mk)O(n2mk)，具体实现可参考代码。
设叶子的个数为nnn，等式的个数为叶子的个数nnn，未知数的个数为111(根)+n−1n-1n−1(分叉的个数)=n=n=n。
高斯消元复杂度O(n3)O(n^3)O(n3)。

解释一下样例1：

AC自动机如上图，叶子节点的出边就不画了,P1=P2=1/2P_1=P_2=1/2P1=P2=1/2。
红绿边为fail边，黑边为字典树的原边。
过程如下：

初始化Equation0=E0Equation_0=E_0Equation0=E0，当前未知数E0E_0E0。
来到深度为000的000号根节点，其son={1,3}son=\{1,3\}son={1,3}，增加未知数E3E_3E3，Equation3=E3Equation_3=E_3Equation3=E3，根据转移，Equation1=Equation0−1−P2Equation3P1=2E0−E3−2Equation_1=\frac{Equation_0-1-P_2Equation_3}{P_1}=2E_0-E_3-2Equation1=P1Equation0−1−P2Equation3=2E0−E3−2;当前未知数E0,E3E_0,E_3E0,E3。
来到深度为111的111号节点，其son={2}son=\{2\}son={2}，(3不是字典树上的儿子)，根据转移，Equation2=Equation1−1−P2Equation3P1=4E0−3E3−6Equation_2=\frac{Equation_1-1-P_2Equation_3}{P_1}=4E_0-3E_3-6Equation2=P1Equation1−1−P2Equation3=4E0−3E3−6;当前未知数E0,E3E_0,E_3E0,E3。
来到深度为111的222号节点，其son={4}son=\{4\}son={4}，根据转移，Equation4=Equation3−1−P1Equation1P2=−2E0+3E3Equation_4=\frac{Equation_3-1-P_1Equation_1}{P_2}=-2E_0+3E_3Equation4=P2Equation3−1−P1Equation1=−2E0+3E3;当前未知数E0,E3E_0,E_3E0,E3。
来到2号叶子节点，根据0=Equation20=Equation_20=Equation2，有 4E0−3E3=64E_0-3E_3=64E0−3E3=6。
来到4号叶子节点，根据0=Equation40=Equation_40=Equation4，有−2E0+3E3=0-2E_0+3E_3=0−2E0+3E3=0。
根据这两个等式解出E0,E3E_0,E_3E0,E3，即可解出所有EiE_iEi。

Code:

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e4 + 10;
constexpr int mod = 1e9 + 7;ll power(ll a, ll b) {ll res = 1;while (b) {if (b & 1)res = res * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return res;
}void add(int &a, int b) { a = (a + b) % mod; }vector<int> Gauss(vector<vector<int>> a) {//a[1,n][1,n+1] a[i][n+1]为常数int n = a.size() - 1;for (int y = 1; y <= n; y++) {int mx = y;for (int x = y; x <= n; x++)if (a[x][y] > a[mx][y])mx = x;int ik = power(a[mx][y], mod - 2);for (int i = y; i <= n + 1; i++)a[mx][i] = (ll) a[mx][i] * ik % mod;for (int x = 1; x <= n; x++)if (x != mx && a[x][y]) {int k = a[x][y];for (int i = y; i <= n + 1; i++) {add(a[x][i], mod - (ll) a[mx][i] * k % mod);}}swap(a[y], a[mx]);}vector<int> res(n + 1);for (int i = 1; i <= n; i++)res[i] = a[i][n + 1];return res;
}vector<int> operator+(vector<int> a, vector<int> b) {int n = max(a.size(), b.size());a.resize(n), b.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++)add(a[i], b[i]);return a;
}vector<int> operator-(vector<int> a, vector<int> b) {int n = max(a.size(), b.size());a.resize(n), b.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++)add(a[i], mod - b[i]);return a;
}vector<int> operator*(vector<int> a, ll b) {b = (b % mod + mod) % mod;for (auto &I:a)I = I * b % mod;return a;
}int n, m, k;
vector<int> Equation[N];
int E[N];
int p[26];struct AC {int tr[N][26], tot, dep[N];int fail[N];bool key[N];int insert(char s[]) {int u = 0;for (int i = 1; s[i]; i++) {int c = s[i] - 'a';if (!tr[u][c])tr[u][c] = ++tot;u = tr[u][c];if (key[u])break;dep[u] = i;}key[u] = 1;return u;}void build() {queue<int> q;for (int i = 0; i < k; i++)if (tr[0][i])q.push(tr[0][i]);while (!q.empty()) {int u = q.front();q.pop();for (int i = 0; i < k; i++) {if (tr[u][i]) {fail[tr[u][i]] = tr[fail[u]][i], q.push(tr[u][i]);} elsetr[u][i] = tr[fail[u]][i];}}}void calc_e() {queue<int> q;int tot_unknown = 0;//当前未知数个数//Equation[u][0] 表示常数 Equation[u][1,tot_unknown]表示未知数的系数// 初始化根节点E_root 为未知数q.push(0);Equation[0].assign({0, 1});tot_unknown++;vector<vector<int>> a(1);//等式组while (!q.empty()) {int u = q.front();q.pop();if (key[u]) {a.push_back(Equation[u]);continue;//one equation}vector<int> son;//字典树上的儿子int p_son = -1;//第0个儿子的字符期望for (int i = 0; i < k; i++) {if (dep[tr[u][i]] > dep[u]) {son.push_back(tr[u][i]);q.push(tr[u][i]);if (p_son == -1)p_son = p[i];}}for (int i = 1; i < son.size(); i++) {//新增sz-1 个未知数Equation[son[i]].resize(tot_unknown + 1);Equation[son[i]].push_back(1);tot_unknown++;}//求son[0]的Equationint v = son[0];Equation[v] = Equation[u];add(Equation[v][0], mod - 1);for (int i = 0; i < k; i++)if (tr[u][i] != v) {Equation[v] = Equation[v] - Equation[tr[u][i]] * p[i];}Equation[v] = Equation[v] * power(p_son, mod - 2);}for (auto &I:a) {I.resize(tot_unknown + 2);I.back() = (mod - I.front()) % mod;}vector<int> res = Gauss(a);for (int i = 0; i <= tot; i++) {for (int j = 1; j < Equation[i].size(); j++)add(E[i], (ll) res[j] * Equation[i][j] % mod);add(E[i], Equation[i][0]);//加上常数}}void print_ans(char *s) {int u = 0;bool sub=0;for (int i = 1; s[i]; i++) {u = tr[u][s[i] - 'a'];if(key[u])sub=1;if(sub)cout<<i<<"\n";else cout << (E[u] + i) % mod << "\n";}}
} ac;char s[N];int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n >> m >> k;for (int i = 0; i < k; i++)cin >> p[i], p[i] = p[i] * power(100, mod - 2) % mod;for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> s + 1;ac.insert(s);}ac.build();ac.calc_e();cin >> s + 1;ac.print_ans(s);
}

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