钱币兑换（动态规划）

写了很久都一直不是很理解，所以写个解题报告加深印象。

这道题是一道完全背包的题目，不同点在于求的是组合数而不是最大值。

题目： 在一个国家仅有1分，2分，3分硬币，将钱N (N<32768) 兑换成硬币有很多种兑法。请你编程序计算出共有多少种兑法。

输入： 每行只有一个正整数N，N小于32768。

输出： 对应每个输入，输出兑换方法数。

分析：
完全背包问题，设有i种钱币，给出钱n（其中n可以理解为完全背包中的背包容量，i可以理解为物品的种数）
完全背包的状态转移方程为：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-weigh])
通过状态转移方程可以看出，算的是最优解，即背包能装的最大价值，但是在这道题中要求的是多少种组合，所以需要修改以下：
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
（假设i=3，那么前者就表示不用面值为3的钱币组成钱n的组合种数，后者表示使用面值为3的钱币组成钱n的组合种数，两者相加得到最终钱n的所有组合数。）

代码1（采用二维数组，不压缩数组）：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[4][40000];
int main()
{int n,i,j;memset(dp,0,sizeof(dp));dp[0][0]=1;//二维数组看作一个表格，当面值和所给钱币都是0时，种数为1for(i=1;i<=3;i++){for(j=0;j<37000;j++){dp[i][j]=dp[i][j-i]+dp[i-1][j];//j-i表示的是少一个面值为i的硬币后具有的所有组合}}while(scanf("%d",&n)!=EOF){printf("%d\n",dp[3][n]);}
}

举个例子：假设钱n=7，那么7的所有组合情况为：
1、只有面值为1时，只有1种。
2、当有面值1和2时，dp[i-1][j]表示只有1的情况，dp[i][j-i] 表示含有面值为2的硬币时钱n-i的组合数，那么再加上一个i后，组合种数是不变的。
3、当有面值为1、2、3的硬币时，dp[i-1]表示的是含有1、2面值的硬币的组合数，dp[i][j-i]同理，表示的是含有面值为3的硬币的组合数。
结合上面三种情况，那么总组合数dp[i][j]为=dp[i][j-i]+dp[i-1][j]

代码2（压缩二维数组为一维数组）：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[40000];
int main()
{int n,i,j;memset(dp,0,sizeof(dp));dp[0]=1;//同理，当给的钱n为0时，只有一种组合for(i=1;i<=3;i++){for(j=i;j<37000;j++){dp[j]=dp[j-i]+dp[j];}}while(scanf("%d",&n)!=EOF){printf("%d\n",dp[n]);}
}

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