Algo_网络流,最大流最小割总结, 残留网络性质,知识点总结Tips
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- 最大流算法
- 错误点
- 错误点
- 残留网络的 可叠加性
- 流网络的 点和边
- 最小割定理证明
- version_0
- version_1
最大流算法
错误点
for( int i = 0; i < n; ++i){int a, b, w;cin >> a >> b >> w;Add_a_edge( a, b, w);
}
很容易忘记添加 (反向边)!!! Add_a_edge( b, a, 0)
最好, 你另外写一个Add_flowEdge( a, b, w)封装一下, 然后在他里面, 直接添加2条边!!
错误点
//* 最大流算法模板int max_flow( int _cur, int _flow_in){if( _cur == End){ return _flow_in;}int flow_out = 0;for( int nex, i = Head_start[ _cur]; ~i; i = Nex[ i]){nex = Ver[ i];if( LayerGraph_depth[ nex] != LayerGraph_depth[ _cur] + 1|| Wth[ i] <= 0){ Head_start[ _cur] = Nex[ i];continue;}int flowed = max_flow( nex, min( Wth[ i], _flow_in - flow_out));//{ effectflow_out += flowed;Wth[ i] -= flowed;Wth[ i ^ 1] += flowed;//}if( flow_out >= _flow_in){LayerGraph_depth[ _cur] = -1; //< @Mark_0return _flow_in;}}//* now, flow_out < flow_inif( flow_out == 0){ //< @Mark_1LayerGraph_depth[ _cur] = -1;}return flow_out;
}
@Mark_0: 必须要注释掉!!!
他对应的情况是: (流入flow_in的少) (可供流出flow_out的多), 此时, 该点 本次流完后, 该点cur 还可以继续流出去!!!
但是, 你确认为 该点不能再流出去了!!! 你错会意! 这个点, 并没有榨干!!!
如果不注释掉 (即把_cur点 给删掉), 就说明:_cur本来是还可以往End流入流量的, 但是, 你却把他给删掉了;
如果不注释, 是会(超时)的!!!@Mark_1: 应该注释掉
不管flow_out是多少, 只要能 (出for循环), 即意味着: (流入flow_in的多) (可以流出flow_out的少)
即, 能流出去的 全流出去了, 但却还不够, 即, 已经榨干了!!! (正好和上面的情况, 相反), 此时, 这个cur点, 就可以删除了, 他已经榨干了
残留网络的 可叠加性
比如说: 你在二分 [0, 1, 2, ...., n], 每一个数 都对应一个图, 对该图求最大流, 如果用二分, 则比较耗时 因为每次二分, 都是在建立一个全新图!!! 这很耗时
但如果说, [0, 1, 2, 3, ..., n] 对应的图, 是动态增长的 即: (i)点的图 是在(i-1)图的基础上, 新加入一些点 和 边
此时, 不用二分, 有更好的办法
即: 给定你一个 "动态增长"的图, 则这个图存在叠加性 (每次的叠加, 都是在原图的基础上, 新加入一些点 和 边)
即, 图Pre -> (加上一些新的点和边 {也可以说是一个图}) -> 图Cur
对应的, 图Pre的残留网络restPre -> (加上一些新的点和边 (称为: restAdd}) -> 图Cur的残留网络restCur
假如说, 我们现在已经知道了: 图Pre 的 最大流, 如何去求图Cur 的 最大流呢??
(所谓的: 知道 图Pre的最大流, 意味着: 我们现在有一个 restPre_ans的 残留网络. 注意, restPre_ans 是 restPre 跑过dinic后的 状态; 他俩是不一样的)
当然最直接的办法是: 根据图Cur 构造出 restCur残留网络.
即: delete掉restPre_ans这个图, 然后再new 一个新的 restCur, 这自然很耗时.
(因为restCur != restPre_ans + restAdd, 所以 已有的restPre_ans用不上, 只能delete掉)
也就是, 这种办法: 完全是把Pre图 和 Cur图, 当成是2个图, 完全没有任何关系
其实, 比如, Pre图的 最大流是: pre_ans
对于 已得到的restPre_ans 残留网络(此时他的最大流肯定是0, 因为已经榨干了), 直接加上 restAdd后, 得到restNew残留网络
然后对restNew求最大流new_flow
则, pre_ans + new_flow 就是Cur图的最大流.
证明 即, 为什么: (restPre)的最大流 + (restPre_ans + restAdd)的最大流 = restCur的最大流:
对于(restPre_ans + restAdd)这个残留网络, 我们让其中的: restPre_ans(已榨干) 将他恢复成原状: restPre
此时有: (restPre + restAdd), 而他就等于: restCur
算法为:
Graph rest; ' rest为: 残留网络, 他是一个动态的过程 'int maxFlow = rest.dinic();FOR(;;){ ' 模拟 每次从Pre -> Cur的过程 'rest += restAdd; ' 将新加边 添加到 rest里 'maxFlow += rest.dinic(); ' 这里是重点!!! '' 此时的maxFlow, 就是Cur图的 最大流 '
}
注意, 虽然restAdd里 (有点, 也有边), 但在实际算法里, 只会新加 "边", 即: rest += rsetAdd这个操作, 其实就是对rest进行了addEdge操作
因为在算法上, 新增加点 这太耗时了push_back; 即, 在最开始的rest这个图, 你应该把点数 全部都提前弄出来
流网络的 点和边
流网络里: 点: 是不能存储流量的(除了 源汇点), 点也没有容量的概念, 我们知道wth[i], 而其中的i 是边, 不是点.
(当然, 其实边也不能存储流量…)
边和点, 都不能存储流量
但是: 边, 有"容量 和 流量"的概念, 即: 这个边, {流量: 流过了 多少流量} {容量: 还能流 多少流量}, 这是要记录下来的
(当然, 点也可以有"流量", 即一个点 经过了多少流量 但这也是 通过计算边 来计算点的流量, 但是, 点 没有 容量 这个性质)
虽然, 点不能存储流量, 但是, 点是要: 转移流量/ 流过流量的!!!
可以想象成: 一些入边 流给了: 一个点, 很多流量, 而这个点 需要将这些流量 通过出边, 全部的流出去
即, 虽然每个点, 都是流量守恒, 即( 存储流量为0), 但是, 点 也是有流量这个概念; 点的流量为: 可行流中, 该点 "流过"了的 流量
最小割定理证明
version_0
这里对上图中: 当原G是(b -> a)时, 则有: f(b, a) = 0 做一些证明:
- 因为原G是
b->a, 所以此时的a->b显然是 原边对应的反向边; 已知c(a, b)=0残留网络中的c(a,b)表示: 该边 的 容量
什么叫: 残留网络的边的 容量呢? 很简单, 即该边 还能够 流过多少的流量
而反向边的容量c(a, b)等于= 其对应的正向边的流量, 即正向边b->a已经流过了c(a, b)的流量
残留网络中, 正向边的 容量c(b, a)=W(b, a)(W表示, 原图中 该边的初始容量) -f(b, a)(f表示, 该边在可行流中, 已经流经的流量)
而: 正向边已经流经的流量f(b, a)= 残留网络中反向边的容量c(a, b)
故, 推出:f(b, a) = c(a, b) = 0
version_1
证: 最大流 = 最小割, 即证: (0, 所有的割 都>= 最大流) (1, 存在某个割 ==等于 最大流)
回顾(割): 对于一个(有向图, 带有起点S, 终点E), (对该图原封不动), 只是把S拉到Lef集合里, E拉到Rig集合里
___然后, 其他点, 要么在Lef, 要么在Rig; 这个操作, 是完全不影响原图的, 点/边/边权等 和原图是一样的
___即: 割的划分形态有很多种2^(n-2), 但是, 不管怎么划分, 所有的割 他们都不会修改原图的!!! 割, 只是对(点)的抽象划分
___那么, 横跨Lef和Rig集合边, 称为(割边); 所有从(Lef->Rig)的割边的边权之和, 为该割的容量
证明0: 所有的割容量 >= 最大流;
___可行流的定义, 即从S到T的流量; 放在(割)里, 即从Lef 流到 Rig的流量;
___因为, 流量 一定<= 容量; 所以, (所有的流 一定<= 任意割的容量)
证明1: 存在某个割容量 == 最大流;
___看这个最大流 的 残留网络; (此时, 这个残留网络里, 不存在任意的可行流)
___在残留网络里, 对S 沿着>0容量的边 进行bfs广搜, 所有可达的点 放到Lef; 剩下的点 放到Rig里
___此时, 这个残留网络的 割, 容量是0; 这个(残留网络的割Cut_0), 他对应一个 (原图的割Cut_1), 即将这个残留网络的割 (点的划分方式) 应用到 原图上, 便可得到Cut_1
___我们看所有的 (从Lef->Rig)的 割边, 他边权为0; 根据(残留网络与原图)的对应规则,
0, 如果该割边是原边; 则意味着: 在原图Cut_1中, 该边是Lef->Rig方向的割边, 且该边在最大流中是(满流)
1, 如果该割边是补充边; 则意味着: 在原图Cut_1中, 该边是Rig->Lef方向的割边, 且该边在最大流中(空流)
此时, 我们证明了: 原图存在一个割Cut_1, 且最大流 在 该割的 所有(Lef->Rig)的割边上, 都是(满流);
但还要证明: 最大流的流量 == Cut_1割的容量
对于任意一个可行流(流就是一个有向图), 他的所有割, 容量均相同, 且均等于 该流的流量.
证明: 任意可行流, 除了S/E, 所有点 不存储流量; 故, 从S->T的流量 等于 从Lef到Rig的流量;
Cut_1割 虽然是原图的割 (不是最大流的割), (上面定理的前提是: 可行流的割, 不是原图的割)
但是, (最大流 经过 所有Cut_1割的 Lef->Rig方向的割边), 故: Cut_1割的容量 = (Cut_1割对应的 最大流的割的容量 == 最大流 (根据上面定理))
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