理解二进制小数定义与转换方法推导

说起二进制小数，上学时很多教学都是直接填鸭式地说明计算方法，但我较笨总是理解上有些困惑，不太知其所以然。后来工作中用到时想明白了数学逻辑，顺便记录一下。

常规算法

十进制转二进制

整数部分直接转换，小数部分就是不断地乘以2，取整数部分作为当前位，小数部分继续乘以2，循环x位或到小数部分为0。

例子：

十进制：3.25

二进制：11.01

整数：3=11

小数：01

第一位：0.25*2=0.5, 取0

第二位：0.5*2=1，取1，终止

二进制转十进制

小数位由高到低，依次乘以2^-n, n=1,2,3…，类同整数位

例子：

二进制：11.01

1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 . 0 ⋅ 2 − 1 + 1 ⋅ 2 − 2 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 . 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot2^{-2} 1⋅21+1⋅20.0⋅2−1+1⋅2−2

2 + 1.0 ⋅ ( 0.5 ) + 1 ⋅ ( 0.25 ) 2+1.0\cdot (0.5) + 1\cdot (0.25) 2+1.0⋅(0.5)+1⋅(0.25)

3.25 3.25 3.25

定义理解

同时看这两部分，不知怎么我很容易联想到泰勒展开，然后就理解了。

具体说，

小数，就是一个不足1的数字
而数字1，可以无限的除以2细分，把每一部分求和后无限接近于1，即 ∑ 0 ∞ ( 1 2 , 1 4 , 1 8 ⋯ 1 n ) = 1 \sum_{0}^{\infty } (\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}\cdots \frac{1}{n}) = 1 ∑0∞(21,41,81⋯n1)=1

结合十进制和二进制相互转化的算法，一下子就十分形象。

例：

有一个十进制的小数0.6875

只用从所有 2 − n 2^{-n} 2−n的集合中选择一些项目，$\left { \frac{1}{2^1} ,\frac{1}{2^2}, \cdots ,\frac{1}{2^n} \right } $ ，加起来组合这个小数

那么即 1个0.5，0个0.25，1个0.125，1个0.0625， 0.6875 = 0.5 + 0 + 0.125 + 0.0625 0.6875=0.5+0+0.125+0.0625 0.6875=0.5+0+0.125+0.0625

同时，这也解释了为什么某些数会有循环不收敛，因为选项有限，每个 2 − 2 2^{-2} 2−2只能1个或0个，所以只能接近，不能相等

这里就很好理解转换算法了

转换算法理解

十进制转二进制

十进制转2进制时乘以2，是为了确认当前余数是否够1个 2 − n 2^{-n} 2−n

还是例子0.6875，设余数部分为A

第一步，要判断是否要拿1个0.5，所以 0.6875 × 2 = 1.357 ≥ 1 0.6875\times 2=1.357\ge1 0.6875×2=1.357≥1，那么第一位取1，即取1个0.5

比较 A × 2 ≥ 1 A \times 2 \ge 1 A×2≥1 就是比较 A ≥ 0.5 A \ge 0.5 A≥0.5 ?，两边同时除以2
第二步，余数 0.375 × 2 = 0.75 ≤ 1 0.375\times 2=0.75\le 1 0.375×2=0.75≤1，即再加一个0.25就超过目标了，所以第二位取0，即取0个0.25

余数更新为 B B B， B = ( A − 0.5 ) × 2 B=(A-0.5)\times 2 B=(A−0.5)×2，需要判断小数减去1个0.5后的剩余部分是否超过1个0.25的大小，

即 ( A − 0.5 ) ≥ 0.25 (A-0.5) \ge 0.25 (A−0.5)≥0.25？，两边同时乘以4，然后代入当前余数B， ( ( A − 0.5 ) × 2 ) × 2 ≥ 1 ) ((A-0.5) \times 2) \times 2 \ge 1) ((A−0.5)×2)×2≥1)，即 B × 2 ≥ 1 B \times 2 \ge 1 B×2≥1
第三步，余数 0.75 × 2 = 1.5 ≥ 1 0.75 \times 2 = 1.5 \ge 1 0.75×2=1.5≥1，即再加一个0.125不会超过目标，所以第三位取1，即取1个0.125
第四步，余数 0.5 × 2 = 1 0.5\times 2= 1 0.5×2=1 ，即在加一个0.0625就刚好满足目标，所以第四位取1，即取1个0.0625，然后循环终止

二进制转十进制

二进制转十进制就是简单的组合

二进制小数 0. b 0 b 1 b 2 ⋯ b n − 1 0.b_0b_1b_2\cdots b_{n-1} 0.b0b1b2⋯bn−1 转10进制

b 0 ⋅ 2 − 1 + b 1 ⋅ 2 − 2 + b 2 ⋅ 2 − 3 ⋯ + b n − 1 ⋅ 2 − n b_0\cdot 2^{-1}+b_1\cdot 2^{-2}+b_2\cdot 2^{-3} \cdots + b_{n-1} \cdot 2^{-n} b0⋅2−1+b1⋅2−2+b2⋅2−3⋯+bn−1⋅2−n