数论概论第五章习题解答(上）（宋二娃的BLOG）

5.1 唔，虽然很简单，但是我还是把代码贴出来吧

    #include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
int a,b;
while(cin >> a >> b)
if(!a || !b) cout << "Wrong input" << endl;
else cout << "gcd(" << a << ", " << b << ")" << " = " << gcd(a, b) << endl;
}

5.2 咦，这道题好像做过。

5.3 证：

∵ r[i] = k * r[i+1] + r[i+2]

又∵ k∈N,k>=2

∴ 0.5 * r[i] >= r[i+1] > r[i+2]

最坏的情况就是每次减少一半，换句话说就是 r[i]* 0.5 和 r[i+2] 很接近

即2^(0.5k) = b

k = 2*log(2 ~ b) ，k就是步数

当 b 的位数为 n 时，

即 k = 2 * log（2 ~ b）< 2 * log（2 ~ 10^n）< 2 * n * log（2 ~10）

< 7 * n

（其中 log（2 ~ 10) ≈ 3.3）

5.4 （a）略

（b） lcm（a，b）= a * b / gcd（a，b）

（c）设 a = ∏（i=1~n)p[i]^t[i]

b = ∏（i=1~n)p[i]^k[i]

mintk[i] = min（t[i]，k[i]），maxtk[i] = min（t[i]，k[i]）

gcd（a，b）= ∏（i=1~n)p[i]^mintk[i]

lcm（a，b）= ∏（i=1~n)p[i]^maxtk[i]

显然有 lcm（a，b）= a * b / gcd（a，b）

（d）略

（e）设m <= n

m = 18 , n = 720

m = 90 , n = 144

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