数字定时误差检测算法系列之 ——

1.Gardner 算法简介

Gardner 算法是一种非数据辅助，实现复杂度低，广泛应用于实际工程中的一种定时误差检测算法。Gardner 算法具有如下特点：

1). 工作于2倍采样率，每个码元需要两个采样点；

2). 适用于BPSK(NRZ)/QPSK 基带或通带系统。在通带系统中，Gardner 算法与载波相位无关；

3). 适用于具有40%~100%的额外带宽(相对于奈奎斯特带宽)的信号系统。

2. Gardner 算法的基本原理

应用于QPSK系统的Gardner算法框图如图1所示。对于BPSK系统，Q路输出为0。图示1中的定时误差检测即采用的Gardner 算法。

图示 1

假设符号发送间隔为T，接收端采样时间间隔为T/2，则采样率为fs = 2/T。系统奈奎斯特带宽为B。则有 fs = 4B。记采样时刻为 (0,1),(2,3)...,(r-1,r-1/2), (r,r+1/2),...，则Gardner 算法鉴相误差输出为：

$u(r) = y_I(r-1/2)*[y_I(r)-y_I(r-1)] + y_Q(r-1/2)*[y_Q(r)-y_Q(r-1)]$ (1)

其中yi表示图示1中的I路输出，yq表示Q路输出。r表示第r个接收码元，(r-1, r -1/2) 表示一个码元的两个连续采样点。对于BPSK系统，yq输出为0。

实现电路图如图2所示：

图示 2

2.1 从公式(1)对Gardner算法的直观理解

图示 3

如图3所示，在码元类型发生变化时(比如从1 到 -1)，如果采样时间没有偏差，中间采样点的值y(r-1/2)，在时间平均上应该为0。若不为0，说明有采样偏差，其绝对值大小 |y(r-1/2)| 提供了采样偏差的大小，其正负符号 sign(y(r-1/2)) 只能提供一半的采样超前或者滞后的方位信息，无法区分图是3中(b或c)中码元由1到-1转变或者-1到1的转变。而y(r) - y(r-1)的差值提供了另一半的方位信息。两者结合就能区分图示3中(b)和(c)所示的4种情况。在实际工程中，也常用sign(y(r) - y(r-1))替代y(r) - y(r-1)。好处在于节省了乘法运算和规避了噪声对y(r) - y(r-1)的影响。

2.2 从Gardner鉴相器的S曲线理解Gardner算法

考虑 NRZ 基带系统，假设图示1中的接收信号为：

$x(t) = \sum a_pg(t-pT)$ , (2)

其中 $a_p = \{\pm 1\}$ 表示NRZ序列，g(t)表示从发送到接收的系统时域冲激响应，T表示单个码元持续时间。

假设采样时刻为 $\tau(0\leqslant \tau\leqslant T))$ 表示基带采样时刻，g(t) 的频域响应为G(f)。Gardner 推导出公式(1)中，鉴相误差u(r)期望的另外一种数学表达式(即Gardner鉴相器的S曲线表达式)：

$U(\tau) = E\{u(r)\} = -(4/T)sin2\pi\tau/T \int_{0}^{1/T}G(f))*G(1/T-f) sin\pi fT df$ (3)

上式中，Gardner 假设两倍奈奎斯特以外的频带为0。从(3)式可以看出Gardner鉴相器的S曲线与采样时刻 $\tau(0\leqslant \tau\leqslant T))$ 的关系为正弦曲线。在码元持续时间T固定的情况下，鉴相灵敏度取决于(3)式中的积分式，确切的说，取决于系统响应G(f)。如下图所示：

图示 4

仅当G(f) 和 G(1/T - f) 有交叠的时候，G(f) * G(1/T - f) 才不为0。根据采样定理，我们知道，当以1/T的采样率进行采样时，奈奎斯特以外的频带必然会发生混叠，即能保证G(f) 和 G(1/T - f) 有交叠。从图中我们可以看出，系统频域响应G(f) 带外频谱越大，G(f) * G(1/T - f)越大，鉴相灵敏度越高。假设，G(f) 为升余弦滚降成型的频谱函数，则不同滚降系数a下的Gardner算法 S 曲线如下图所示：

图示 5

当a = 0时，系统响应为理想低通响应，此时鉴相器无法提取出定时误差；

当 a = 0.99时，G(f)带外频谱很大，鉴相器相对灵敏。

通常，Gardner算法适用于具有40%~100%的额外带宽的系统。

【参考文献】

[1] M.Gardner. A BPSK/QPSK timing-error detector for sampled receivers. IEEE Trans. Comm..

[2] 崔丽娜. 全数字接收机中的位同步技术研究[D]. 重庆大学.

思考题：

(1) 为什么Gardner算法和载波相位无关？

(2) 图示4中G(f) 的交叠的本质是啥？为什么它会影响到Gardner算法S曲线的灵敏度？

(3) Gardner算法是否适用于更高阶的调制系统？

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