我对光学相干层析成像的理解

我对光学相干层析成像的理解

光学相干层析成像基于干涉仪原理，利用近红外弱相干光照射到待测组织，依据光的相干性产生干涉，采用超外差探测技术，测量反射回来的光强，用于组织浅表层成像。OCT 系统是由低相干光源、光纤迈克尔逊干涉仪和光电探测系统等构成。如上图所示，当样品臂与参考臂光程差不多时，入射到探测器上的两束光就会产生干涉，根据探测器上的信号数据进行处理就可以得到样品上的单点的层析反射成像。

那么为什么可以成像呢？ 我的理解基于下面3点：

1.光电二极管

光电二极管是一种光电变换器件，它能将接收的光信号转变成电信号输出。其基本特性是在光的照射下能产生光电流。光电二极管的顶端有能射入光线的窗口，光线可通过该窗口照射到管芯上。当无光照射光电二极管时，反向电流很小，即暗电流极小；当有光照射时，在光的激发下，光电二极管内产生大批“光生载流子”，反向电流大增，即光电流大增。但这种对光线的反应灵敏度有选择性，也就是说具有特定的光谱范围。在这一范围内，某一波长的光波又有着最佳响应，称这一波长为峰值波长。不同型号的光电二极管，由于其材料与工艺不同，峰值波长亦不相同。光电二极管一般能接收可见光或红外光，用可光控系统或遥控系统。光电流指在一定反向电压下，入射光强为某一定值时流过管子的（反向）电流。

光电二极管的光电流一般为几十微安，并与入射光强度成正比，该值越大越好。

由于光电二极管以上的特性，利用光电二极管作为OCT两束光的探测器，就可以得到干涉后的光强的信号了。

2.光强

波动模型里面，光的频率就是波动的du频率，光的强度与振幅平方成正比。光的相位就是波动的相位。在波动模型里，振幅的决定光强。

粒子模型里，光的频率对应单个光子的能量动量，光的强度对应光子的密度。相位、振幅等在粒子模型无法体现，更不如说是不应代入振幅的概念。

提高功率可以只提高振幅而保持功率不变,单色光一般靠激光器产生,特定原子有有特定的频率,被高能激发后,电子从激发态返回基态就会发出特定波长的光,这是因为电子是量子态的。

3.光的波动性

物理学中，干涉（interference）是两列或两列以上的波在空间中重叠时发生叠加从而形成新的波形的现象。

例如采用分束器将一束单色光束分成两束后，再让它们在空间中的某个区域内重叠，将会发现在重叠区域内的光强并不是均匀分布的：其明暗程度随其在空间中位置的不同而变化，最亮的地方超过了原先两束光的光强之和，而最暗的地方光强有可能为零，这种光强的重新分布被称作“干涉条纹”。在历史上，干涉现象及其相关实验是证明光的波动性的重要依据，但光的这种干涉性质直到十九世纪初才逐渐被人们发现，主要原因是相干光源的不易获得。 [1]

为了获得可以观测到可见光干涉的相干光源，人们发明制造了各种产生相干光的光学器件以及干涉仪，这些干涉仪在当时都具有非常高的测量精度：阿尔伯特·迈克耳孙就借助迈克耳孙干涉仪完成了著名的迈克耳孙－莫雷实验，得到了以太风观测的零结果。而在二十世纪六十年代之后，激光这一高强度相干光源的发明使光学干涉测量技术得到了前所未有的广泛应用，在各种精密测量中都能见到激光干涉仪的身影。现在人们知道，两束电磁波的干涉是彼此振动的电场强度矢量叠加的结果，而由于光的波粒二象性，光的干涉也是光子自身的几率幅叠加的结果。

基于上面的三点，可以假设光的波动波型为 $Acos(2\pi ft)$ ，其中A为幅值，f为光的频率，t为时间，而光电二极管信号与 $A^2$ 成正比。

假设参考臂的光行程为 $L_{r}$ ，样品臂的光程为 $L_{s}$ ，光速为C，光的波长为 $\lambda$ ，有：

光的频率f= $\frac{C}{\lambda}$ $\frac{1}{\lambda}=\frac{f}{C}$

参考臂的光的波型函数： $A_{r}cos(2\pi ft+\frac{2\pi fL_{r}}{C})$

样品臂的光的波型函数： $A_{s}cos(2\pi ft+\frac{2\pi fL_{s}}{C})$

所以：：单频率的参考臂光，和样品臂多个反射光，重合，相加后的波型为 $F=A_{r}cos(2\pi ft+\frac{2\pi fL_{r}}{C}) + \left \{ A_{s0}cos(2\pi ft+\frac{2\pi fL_{s0}}{C})+ A_{s1}cos(2\pi ft+\frac{2\pi fL_{s1}}{C})+ A_{s2}cos(2\pi ft+\frac{2\pi fL_{s2}}{C})+... \right \}$

函数的后面部分对应样品臂纵深方向多个反射位置的反射光的波型

若令参考臂的光束接收位置波型的相位为0，则样品臂光束波形相位为 $\frac{2\pi f\times \Delta L }{C}$ ，其中 $\Delta L=L_{s}-L_{r}$ 所以公式变形为

$F=A_{r}cos(2\pi ft) + \left \{ A_{s0}cos(2\pi ft+\frac{2\pi f \Delta L_{0}}{C})+ A_{s1}cos(2\pi ft+\frac{2\pi f\Delta L_{1}}{C})+ A_{s2}cos(2\pi ft+\frac{2\pi f\Delta L_{2}}{C})+... \right \}$

令x= $2\pi ft$ n=A 公式变形为

$F(x) = n_{0}cos(x)+\left \{ n_{1}cos(x+\Theta _{1})+n_{2}cos(x+\Theta _{2})+n_{3}cos(x+\Theta _{3})+...\right \}$

那么光电二极管在单频光源时，接收到的干涉光强度为 $E = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}F^2(x)dx$

，其中T为 $2\pi$

先来化简 cos(x+a)cos(x+b)

上面的化简其实可以一步到位

因为 $cos\left ( (x+a) + (x+b) \right ) =cos(x+a)cos(x+b)-sin(x+a)sin(x+b)$

$cos\left ( (x+a) - (x+b) \right ) =cos(x+a)cos(x+b)+sin(x+a)sin(x+b)$

所以 $cos(x+a)cos(x+b)=\frac{1}{2}\left ( cos(a-b) + cos(2x+a+b) \right )$

综合 $F(x) = n_{0}cos(x)+\left \{ n_{1}cos(x+\Theta _{1})+n_{2}cos(x+\Theta _{2})+n_{3}cos(x+\Theta _{3})+...\right \}$ (1)

$E = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}F^2(x)dx$ 的 $F^2(x)$ 可以分解为从（1）式中多个元素中抽取的两个元素i,j相乘后积分再相加，其中的任意两个为

所以有

$E = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}F^2(x)dx=\sum_{i,j}\frac{1}{2}n_{i}n_{j}cos(\Theta _{i}-\Theta _{j})$ i j为抽取的参考臂或样品臂波型索引

由此可知参考臂距离不变时，光强可以看成下面四种情况的余弦波形叠加而组成

两个抽取都是参考臂
两个抽取都是相同位置的样品臂
一个抽取是参考臂，另一个抽取是样品臂
两个抽取是不相同位置的样品臂

结合 $\Theta =\frac{2\pi f\times \Delta L }{C}$ ，n=A来看

对于第1、2两种情况， $\frac{1}{2}n_{i}n_{j}cos(\Theta _{i}-\Theta _{j})$ ，由于i=j所以当光源的频率变化时( $cos(\Theta -\Theta )$ =1)，1、2两种情况的光强度是不随光源的频率变化的，它是恒定的参考臂波型幅值平方 $\frac{A_{r}^2}{2}$ 或样品臂波型幅值平方 $\frac{A_{s}^2}{2}$

对于情况3，参考臂光的波形相位为 $\Theta_{r}=0$ ，而样品臂光的波形相位为 $\Theta_{s} =\frac{2\pi f\times \Delta L }{C}$ ，即 $\frac{1}{2}n_{i}n_{j}cos(\Theta _{i}-\Theta _{j})=\frac{1}{2}n_{r}n_{s}cos(\Theta _{s}-\Theta _{r})=\frac{1}{2}A_{r}A_{s}cos(\frac{2\pi f\Delta L}{C})$ $\Delta L$ 是样品臂比参考臂距离长的长度，情况3下的光强度与光频率f成一个余弦函数关系，余弦函数的频率与 $\Delta L$ 成正比，由于抽取i,j与抽取j,i 是相同的，所以有 $\frac{1}{2}n_{i}n_{j}cos(\Theta _{i}-\Theta _{j})+\frac{1}{2}n_{i}n_{j}cos(\Theta _{j}-\Theta _{i})=A_{r}A_{s}cos(\frac{2\pi f\Delta L}{C})$

对于情况4，与情况3相似， $\frac{1}{2}n_{i}n_{j}cos(\Theta _{i}-\Theta _{j})+\frac{1}{2}n_{i}n_{j}cos(\Theta _{j}-\Theta _{i})=A_{i}A_{j}cos(\frac{2\pi f(\Delta L_{i}-\Delta L_{j})}{C})$ ，光强度与光频率f成一个余弦函数关系，余弦函数的频率与 $(\Delta L_{i}-\Delta L_{j})$ 成正比

由于对光电二极管按照光源频率线性变化采样的信号正比于 $E = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}F^2(x)dx$ ，对采样到的信号（按照光源频率线性变化的，例如纵坐标是光强值E 横坐标是光源频率）作博里叶变换，就可以得到相对于 $\Delta L$ 位置的各个信号频率幅值 $n_{i}n_{j}$ ，与光源频率无关的博里叶变换后的直流信号为 $\frac{A_{r}^2}{2} + \left \{ \frac{A_{s0}^2}{2}+ \frac{A_{s1}^2}{2}+ \frac{A_{s2}^2}{2}+ ... \right \}$ ， $\Delta L_{i}$ 处反射干涉光强正比于 $\Delta L_{i}$ 倍光源频率变化的频率信号强度为 $A_{r}A_{si}$ ， $(\Delta L_{i}-\Delta L_{j})$ 处样品臂反射点互相关干涉光强正比于 $(\Delta L_{i}-\Delta L_{j})$ 倍光源频率变化频率信号强度为 $A_{si}A_{sj}$ ，所以：OCT光源光强相对光频率线性变化时 采样波形博里叶变换后的波型有高幅值的位置（直流除外）对应于样品臂 $\Delta L_{i}$ 或 $(\Delta L_{i}-\Delta L_{j})$ 位置反射的强弱。根据样品臂纵深方向各反射点的强弱就可以对纵深方向成像。

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