Kruskal（克鲁斯卡尔）算法

Kruskal算法是求解最小生成树的经典算法之一

0.准备工作

在学习Kruskal算法之前，需要先学习一种数据结构-并查集（Disjoint-set data structure），它可以快速的将两个不相交的集合合并，也可以查询两个元素是否在同一个集合当中

1.并查集的基本思想

合并：

查询：

2.代码实现

//初始化,有 0 ~ n-1 共n个元素
void init(){for(int i = 0;i < n;i++) f[i] = i;
}//递归查找祖宗结点
int find(int x){//只有当 一个结点的父结点 等于 它本身，才找到了祖宗节点if(x != f[x]) f[x] = find(f[x]);return f[x];
}// 合并
void merge(int a,int b){//如果已经是在同一个集合就不用合并了if(find(a) != find(b))f[find(a)] = find(b);
}

1.Kruskal算法的基本思想

首先先定义一个结构存储所有的边 edge（from,to,weight(权值)），然后再按权值从小到大的排序，这样我们从头开始遍历，每一次取出来的边都是权值最小的一条边。每次先判断取出的边的两点是否已经在一个集合中了，不在一个集合中就合并，记录权值，反之就跳过本次循环。循环结束，我们就将所有的结点都加到了一个集合中。

1.取出第一条边，集合中的元素为{{1}，{2}，{3}，{4}，{5，6}，{7}}

2.取出第二条边，集合中的元素为{{1}，{2，3}，{4}，{5，6}，{7}}

3.取出第三条边，集合中的元素为{{1}，{2，3}，{4，5，6}，{7}}

4.取出第四条边，集合中的元素为{{1}，{2，3}，{4，5，6，7}}

5.取出第五条边，集合中的元素为{{1，2，3}，{4，5，6，7}}

6.取出第六条边，集合中的元素为{{1，2，3，4，5，6，7}}，结束。最小生成树的权重为71

2.代码实现

输入：

输出：

5 ---> 6  权重为:3
2 ---> 3  权重为:8
4 ---> 5  权重为:9
4 ---> 7  权重为:15
1 ---> 2  权重为:18
1 ---> 7  权重为:18
71

C++：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 1e5+10,M = 2e5+10,INF = 0x3f3f3f3f;
int f[N];
int n,m;//存储边
struct Edge{int a,b,w;//重载运算符，方便按照权重从小到大排序bool operator <(const Edge &e) const{return w < e.w;}} edge[M];//查找祖宗结点
int find(int x){if(x != f[x]) f[x] = find(f[x]);return f[x];
}int kruskal(){for(int i = 1;i <= n;i++) f[i] = i;sort(edge,edge+m);//记录最小生成树的权值    记录边数int ans = 0,cnt = 0;for(int i = 0;i < m;i++){int a = edge[i].a,b = edge[i].b,w = edge[i].w;int x = find(a),y = find(b);//如果edge[i]边的 两个结点不在同一个集合，那就将这两个结点合并到一个集合，记录边数if(x != y){f[x] = y;ans += w;cnt++;printf("%d ---> %d  权重为:%d \n",a,b,w);}}//最小生成树会连接所有的结点，一共有n个点，所以会有n-1条边，如果cnt < n-1 说明有的点不可达//不能形成最小生成树if(cnt < n - 1) return INF;return ans;
}int main(){cin>>n>>m;for(int i = 0;i < m;i++){int a,b,w;scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);edge[i] = {a,b,w};}int t = kruskal();if(t == INF) puts("无法形成最小生成树！！！");else printf("%d\n",t);return 0;
}

Java：

package com.wurusai.graph;import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;
import java.util.Scanner;public class Main {private static final int N = 100010;private static final int INF = (int)Math.pow(10,9);private static int[] f;private static int n,m;private static Edge[] edges;private static int find(int x){if(x != f[x]) f[x] = find(f[x]);return f[x];}private static int kruskal(){for(int i = 1;i <= n;i++) f[i] = i;Arrays.sort(edges, new Comparator<Edge>() {@Overridepublic int compare(Edge o1, Edge o2) {return o1.w - o2.w;}});int ans = 0,cnt = 0;for(int i = 0;i < m;i++){int a = edges[i].a,b = edges[i].b,w = edges[i].w;int x = find(a),y = find(b);if(x != y){f[x] = y;ans += w;cnt++;System.out.println(a + " ---> "+b+"  权值为 "+w);}}if(cnt < n - 1) return INF;return ans;}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);System.out.println("请输入点数和边数：");n = sc.nextInt();m = sc.nextInt();edges = new Edge[m];f = new int[N];for(int i = 0;i < m;i++){int a,b,w;a = sc.nextInt();b = sc.nextInt();w = sc.nextInt();edges[i] = new Edge(a,b,w);}int t = kruskal();if(t == INF) System.out.println("无法形成最小生成树！！！");else System.out.println(t);}
}class Edge{public int a,b,w;public Edge(int a,int b,int w){this.a = a;this.b = b;this.w = w;}public Edge(){}
}

3.例题

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/861/

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤1e5,
1≤m≤2∗1e5,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000。

输入样例：

输出样例：

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 1e5+10,M = 2e5+10,INF = 0x3f3f3f3f;
int f[N];
int n,m;struct Edge{int a,b,w;bool operator <(const Edge &e) const{return w < e.w;}} edge[M];int find(int x){if(x != f[x]) f[x] = find(f[x]);return f[x];
}int kruskal(){for(int i = 1;i <= n;i++) f[i] = i;sort(edge,edge+m);int ans = 0,cnt = 0;for(int i = 0;i < m;i++){int a = edge[i].a,b = edge[i].b,w = edge[i].w;int x = find(a),y = find(b);if(x != y){f[x] = y;ans += w;cnt++;}}if(cnt < n - 1) return INF;return ans;
}int main(){cin>>n>>m;for(int i = 0;i < m;i++){int a,b,w;scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);edge[i] = {a,b,w};}int t = kruskal();if(t == INF) puts("impossible");else printf("%d\n",t);return 0;
}