【算法竞赛学习笔记】莫队算法-超优雅的暴力算法

title : 莫队算法
tags : ACM,暴力
date : 2021-10-30
author : Linno

普通莫队

常用操作：分块/排序/卡常/离散化等,直接上板子。

luoguP2709 小B的询问

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
//#define int long long
using namespace std;
const int N=5e4+7;//int read(){   int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=f*-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}struct X{int l,r,id;
}q[N];int n,m,k,cnt[N],a[N],bel[N],ans[N],nowans,block;bool cmp(X a,X b){if(bel[a.l]!=bel[b.l]) return a.l<b.l;return a.r<b.r;
}void add(int x){nowans-=cnt[a[x]]*cnt[a[x]];++cnt[a[x]];nowans+=cnt[a[x]]*cnt[a[x]];
}void del(int x){nowans-=cnt[a[x]]*cnt[a[x]];--cnt[a[x]];nowans+=cnt[a[x]]*cnt[a[x]];
}signed main(){cin>>n>>m>>k;block=sqrt(n);for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];bel[i]=i/block;}for(int i=1;i<=m;i++){cin>>q[i].l>>q[i].r;q[i].id=i;}sort(q+1,q+1+m,cmp);int L=0,R=-1;nowans=0; for(int i=1;i<=m;i++){while(L>q[i].l) add(--L);while(R<q[i].r) add(++R);while(L<q[i].l) del(L++);while(R>q[i].r) del(R--);ans[q[i].id]=nowans;}for(int i=1;i<=m;i++) cout<<ans[i]<<"\n";return 0;
}

带修改莫队

莫队不能处理强制在线的题目，但是对于允许离线的修改区间查询来说，依然能够解决。给一个时间戳来记录修改操作的编号，**而查询操作的时间戳沿用最近一次修改操作的时间戳。**对于每次修改处理，只要再跑一次L,R指针就可以了。

因为加了一个时间的维度，我们需要重新分块使得复杂度达到最优，块的大小设为n23\sqrt[3]{n^2}3n2，而不是n\sqrt nn，否则复杂度会卡成n2n^2n2。

luoguP1903 [国家集训队]数颜色 / 维护队列

#include<bits/stdc++.h>
//#define int long long
using namespace std;
const int maxn=2e6+7;
const int mod=1e9+7;inline int read(){    int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=f*-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}struct Q{int l,r,id,t;
}q[maxn];struct Change{int pos,val;
}C[maxn];int n,m,bl,idx,nowans,tot;
int a[maxn],cnt[maxn],ans[maxn];
int L=1,R=0,now=0;
char op[5];bool cmp(Q a,Q b){if(a.l/bl!=b.l/bl) return a.l<b.l; //相同桶按右端点小 if(a.r/bl!=b.r/bl) return a.r<b.r;return a.t<b.t; //左端点按桶
}inline void add(int val){  if(++cnt[val]==1) nowans++;}inline void del(int val){ if(--cnt[val]==0) nowans--;}void work(int now,int i){if(q[i].l<=C[now].pos&&C[now].pos<=q[i].r){if(--cnt[a[C[now].pos]]==0) nowans--;if(++cnt[C[now].val]==1) nowans++;}a[C[now].pos]=C[now].val;
}inline void modify(int i){while(now<q[i].t){now++;if(q[i].l<=C[now].pos&&C[now].pos<=q[i].r){del(a[C[now].pos]);add(C[now].val);}swap(a[C[now].pos],C[now].val);}while(now>q[i].t){if(q[i].l<=C[now].pos&&C[now].pos<=q[i].r){del(a[C[now].pos]);add(C[now].val);}swap(a[C[now].pos],C[now].val);now--;}
}signed main(){n=read();m=read();bl=pow(n,0.666);for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=read();}for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%s",op);if(op[0]=='R'){C[++idx].pos=read();C[idx].val=read();}if(op[0]=='Q'){q[++tot].l=read();q[tot].r=read();q[tot].id=tot;q[tot].t=idx;}}sort(q+1,q+1+tot,cmp);for(int i=1;i<=tot;i++){while(L<q[i].l) del(a[L++]);while(R<q[i].r) add(a[++R]);while(L>q[i].l) add(a[--L]);while(R>q[i].r) del(a[R--]);if(now!=q[i].t) modify(i);ans[q[i].id]=nowans;}for(int i=1;i<=tot;i++){printf("%lld\n",ans[i]);}return 0;
}

树上莫队

在原树上跑一遍dfs序，那么一个子树上的点就是一个连续的区间。

如果跑一边欧拉序，那么一条路径上经过的所有点就在一个连续的区间，并且额外加上他们的LCA。

SP10707 COT2 - Count on a tree II

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 200200
#define isdigit(x) ((x) >= '0' && (x) <= '9')
inline int read() {int res = 0;char c = getchar();while(!isdigit(c)) c = getchar();while(isdigit(c)) res = (res << 1) + (res << 3) + (c ^ 48), c = getchar();return res;
}
int aa[maxn], cnt[maxn], first[maxn], last[maxn], ans[maxn], belong[maxn], inp[maxn], vis[maxn], ncnt, l = 1, r, now, size, bnum; //莫队相关
int ord[maxn], val[maxn], head[maxn], depth[maxn], fa[maxn][30], ecnt;
int n, m;
struct edge {int to, next;
} e[maxn];
void adde(int u, int v) {e[++ecnt] = (edge){v, head[u]};head[u] = ecnt;e[++ecnt] = (edge){u, head[v]};head[v] = ecnt;
}
void dfs(int x) {ord[++ncnt] = x;first[x] = ncnt;for(int k = head[x]; k; k = e[k].next) {int to = e[k].to;if(to == fa[x][0]) continue;depth[to] = depth[x] + 1;fa[to][0] = x;for(int i = 1; (1 << i) <= depth[to]; ++i) fa[to][i] = fa[fa[to][i - 1]][i - 1];dfs(to);}ord[++ncnt] = x;last[x] = ncnt;
}
int getlca(int u, int v) {if(depth[u] < depth[v]) swap(u, v);for(int i = 20; i + 1; --i) if(depth[u] - (1 << i) >= depth[v]) u = fa[u][i];if(u == v) return u;for(int i = 20; i + 1; --i)if(fa[u][i] != fa[v][i]) u = fa[u][i], v = fa[v][i];return fa[u][0];
}
struct query {int l, r, lca, id;
} q[maxn];
int cmp(query a, query b) {return (belong[a.l] ^ belong[b.l]) ? (belong[a.l] < belong[b.l]) : ((belong[a.l] & 1) ? a.r < b.r : a.r > b.r);
}
void work(int pos) {vis[pos] ? now -= !--cnt[val[pos]] : now += !cnt[val[pos]]++;vis[pos] ^= 1;
}
int main() {n = read(); m = read();for(int i = 1; i <= n; ++i) val[i] = inp[i] = read();sort(inp + 1, inp + n + 1);int tot = unique(inp + 1, inp + n + 1) - inp - 1;for(int i = 1; i <= n; ++i)val[i] = lower_bound(inp + 1, inp + tot + 1, val[i]) - inp;for(int i = 1; i < n; ++i) adde(read(), read());depth[1] = 1;dfs(1);size = sqrt(ncnt), bnum = ceil((double) ncnt / size);for(int i = 1; i <= bnum; ++i)for(int j = size * (i - 1) + 1; j <= i * size; ++j) belong[j] = i;for(int i = 1; i <= m; ++i) {int L = read(), R = read(), lca = getlca(L, R);if(first[L] > first[R]) swap(L, R);if(L == lca) {q[i].l = first[L];q[i].r = first[R];}else {q[i].l = last[L];q[i].r = first[R];q[i].lca = lca;}q[i].id = i;}sort(q + 1, q + m + 1, cmp);for(int i = 1; i <= m; ++i) {int ql = q[i].l, qr = q[i].r, lca = q[i].lca;while(l < ql) work(ord[l++]);while(l > ql) work(ord[--l]);while(r < qr) work(ord[++r]);while(r > qr) work(ord[r--]);if(lca) work(lca);ans[q[i].id] = now;if(lca) work(lca);}for(int i = 1; i <= m; ++i) printf("%d\n", ans[i]);return 0;
}

回滚莫队

适用范围

询问离线、不带修改

区间伸长时易维护信息，区间缩短时不易维护。

只加不减的回滚莫队

（1）对原序列进行分块，并对询问按照如下的方式排序：以左端点所在的块升序为第一关键字，以右端点升序为第二关键字

（2）对于处理所有左端点在块TT内的询问，我们先将莫队区间左端点初始化为R[T]+1，右端点初始化为R[T]，这是一个空区间

（3）对于左右端点在同一个块中的询问，我们直接暴力扫描回答即可。

（4）对于左右端点不在同一个块中的所有询问，由于其右端点升序，我们对右端点只做加点操作，总共最多加点n次

（5）对于左右端点不在同一个块中的所有询问，其左端点是可能乱序的，我们每一次从R[T]+1的位置出发，只做加点操作，到达询问位置即可，每一个询问最多加√n次。回答完询问后，我们撤销本次移动左端点的所有改动，使左端点回到R[T]+1的位置

（6）按照相同的方式处理下一块

只减不加的回滚莫队

以左端点所在的块升序为第一关键字，右端点降序为第二关键字

回答完询问后，撤销本次移动左端点的所有改动，使左端点回到L[T]的位置。

AT1219 歴史の研究

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e5+20 , SIZE = 1020;
int n,m,size,T,raw[N],val[N],t,cnt[N],cnt_[N];
int bel[N],L[SIZE],R[SIZE];
long long ans[N],Max,a[N];
struct query{int l,r,id;}q[N];inline void discrete(){ //离散化 sort(raw+1,raw+t+1);t=unique(raw+1,raw+t+1)-(raw+1);for (int i=1;i<=n;i++) val[i]=lower_bound(raw+1,raw+t+1,a[i])-raw;
}inline void setblocks(){ //分块 size=sqrt(n),T=n/size;for (int i=1;i<=T;i++){if (i*size>n) break;L[i] = (i-1) * size + 1;R[i] = i * size;}if (R[T]<n) T++,L[T]=R[T-1]+1,R[T]=n;for (int i=1;i<=T;i++)for (int j=L[i];j<=R[i];j++)bel[j]=i;
}inline bool cmp(query p1,query p2){if (bel[p1.l]!=bel[p2.l])return bel[p1.l]<bel[p2.l];else return p1.r<p2.r;
}
// 加点
inline void insert(int p,long long &Maxval)
{cnt[val[p]]++;Maxval = max( Maxval ,cnt[val[p]] * a[p] );
}
// 撤销
inline void resume(int p)
{cnt[val[p]]--;
}inline void CaptainMo(){sort(q+1,q+m+1,cmp);int l=1,r=0,lastblock=0;for (int i=1;i<=m;i++){ if (bel[q[i].l]==bel[q[i].r]){ // 处理同一块中的询问for (int j=q[i].l;j<=q[i].r;j++) cnt_[val[j]]++;int temp=0;for (int j=q[i].l;j<=q[i].r;j++) temp = max( temp ,cnt_[val[j]] * a[j] );for (int j=q[i].l;j<=q[i].r;j++) cnt_[val[j]]--;ans[ q[i].id ] = temp; continue; }// 如果移动到了一个新的块，就先把左右端点初始化if (lastblock!=bel[q[i].l]){while ( r > R[bel[q[i].l]] ) resume(r--);while ( l < R[bel[q[i].l]]+1 ) resume(l++);Max = 0 , lastblock = bel[q[i].l];}// 单调地移动右端点while (r<q[i].r) insert(++r,Max);// 移动左端点回答询问int temp = Max; int  l_ = l;while (l_>q[i].l) insert(--l_,temp);// 回滚while (l_< l) resume(l_++);ans[ q[i].id ] = temp;}
}
signed main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];raw[++t]=a[i];}for(int i=1;i<=m;i++){cin>>q[i].l>>q[i].r;q[i].id=i;}discrete();setblocks();CaptainMo();for (int i=1;i<=m;i++)printf("%lld\n",ans[i]);return 0;
}

参考资料

https://www.cnblogs.com/Parsnip/p/10969989.html

https://www.cnblogs.com/WAMonster/p/10118934.html