文章目录

4. 基尔霍夫定律
- 4.1. 电路基本概念澄明
- 4.2. KCL和KVL
- - KCL
  - KVL
- 4.3. 支路的KL有效性
5. 电路的求解
- 5.1. 思想：元件约束+拓扑约束
- 5.2. 方法：2b法
- 5.3. 实例分析与一般解决步骤
- - 5.3.1. 确定电路的有效部分
  - 5.3.2. 方向规定与标号准备
  - 5.3.3. 列KCL和KVL求解

4. 基尔霍夫定律

4.1. 电路基本概念澄明

支路(branch)：若干元件无分岔首尾相连成一个支路。支路两端的电压称为支路电压，支路两端的电流称为支路电流。二者统称支路量
节点(node)：3个或更多支路的连接点称为节点。（有些定义中也将两两相接称为节点，但不利于写出KCL方程）

注意：节点不一定非要是图中涂黑了的点。跟这个点相连的（中间没有其他元件）的导线都包含在这个“节点”当中。
回路(loop)：由支路构成的闭合路径称作电路的回路。对应图论中的环。
网孔(mesh)：内部无元件的回路称为网孔。有时也称作网格(grid)

4.2. KCL和KVL

KCL

∑i=0\sum i=0 ∑i=0
∑outi=∑in\sum_\mathrm{out}i = \sum_\mathrm{in} out∑i=in∑

子网络可以抽象成节点，使用KCL称为广义KCL(generalized KCL)。但其广义形式不如KVL广义形式有用。
本质上是电荷守恒。

KVL

∑u=0\sum u=0 ∑u=0
∑downu=∑upu\sum_{\mathrm{down}}u=\sum_\mathrm{up}u down∑u=up∑u

子网络抽象成一条支路，仍然可以使用KVL，并拓展为广义KVL。它可以用来更加便捷地写出一般的KVL表达式。
注意KVL是对任意闭合回路考虑。这一点在有效性里继续讨论。
本质是静电场环路定理

4.3. 支路的KL有效性

实际上，一些支路是不能或者不便用KL进行求解的。主要有如下两类：（详细讨论见5.3.1）

断路支路（包含一般断路、独立电流源等）所在的网孔不便使用KVL，因为这个方程只有求解这个残缺信息的用途了。存在一个(KVL低效的)断路支路的回路称为KVL低效回路。存在两个则不可用KVL，称为KVL无效回路。对于无效回路采用“不考虑”的态度更好，因为基于一个回路删除边有时是繁琐的。
电流为零的支路对一个节点电流无贡献，可以直接删除。

5. 电路的求解

5.1. 思想：元件约束+拓扑约束

这是一种工程学中通用的系统描述思路。前者反映各个元素的自身性质，后者反映组成系统时产生的关联。当确定了这两者之后，一个系统才得以描述。

5.2. 方法：2b法

万不得已时的后备隐藏技能。列出2b个方程进行求解。
其中前b个是b个元件约束。后b个是基尔霍夫定律。
这b个KL方程中，有b-1个KCL，m(网孔数)的KVL。

思考一种最简单的情形，并排的一系列网孔，仅有b-1对这样的节点。另外也可以从线性相关来助记。在5.3.3中给出了较为详细讨论。

5.3. 实例分析与一般解决步骤

5.3.1. 确定电路的有效部分

我们以一个例题来说明这样两个概念：KCL无效性和KVL无效性。这个无效是不适用之意，在利用KL解决问题的时候，在指定的条件下就可以不用再讨论相应支路使得问题得到简化。

例：

KCL无效：其中a、b之间是断开的（既不是电流源也不是电压源），用这里的语言讲，这个支路是KCL无效的。在讨论其相关节点的KCL时，不用对其进行讨论。

这个是说不必要，因为断路或用电压表测量电流都极小。同时不难看出，其实KCL无效的使用范围很有限。
KVL低效和无效：要对基本元件保持敏感！
- 独立电流源是电流自身确定，但电压由外路确定的，不便于利用其电压进行问题求解，所以说其是KVL低效的。低效的不优先使用。但可以求解出低效支路的端压。
- 断路的情形类似。因而在下面的网孔中出现了多于一个的KVL低效元件，我们把这个网孔称为KVL无效的。
- 我们在具体求解的时候，可以进行删除其中不含电压源的支路，使得网孔数减少，或者直接对KVL有效的网孔进行列式求解。
为什么可以有这样的想法？
- 首先理想独立电流源的电压由外路确定，我们不能写出它的电压确定值。
- 另外其伏安特性为一条垂直于i轴的直线，在一个确定的电流下，电压可以是任意值，将其考虑到一个KVL式中，那么等式的成立性似乎可以被任意打破。
- 然而独立电流源在伏安特性上是等效于断路的，我们可以把这个KVL低效的条件扩展到所有断路的支路上去。

有了这两个步骤之后，基尔霍夫方程组就瞬间变得简单。有效网格数mmm减小为1，仅可能列出整个外环的KVL；有效节点数甚至为0，没有KCL。为了解决问题，只需要（顺时针按电压降）列出如下的KVL方程：
−8+3×1−Uab=0-8+3\times1-U_{ab}=0 −8+3×1−Uab=0
可得：Uab=−5VU_{ab} = -5VUab=−5V

小结：

独立电流源是KVL无效的，断路是KCL低效的。
在列对应方程的时候，可以去掉相应支路。

注意：

KCL是针对节点说的，其中各个元素都是支路电流，所以我们只需要找出其中的极小电流(即断路)的支路即可。并标记为KCL无效。从而使得部分节点简化或退化。
KVL是针对网孔列的，这里的KVL无效也是针对网孔说的。两个低效的元件即可导致这个网孔无效。

5.3.2. 方向规定与标号准备

这有时是重要的。

5.3.3. 列KCL和KVL求解

所有节点的KCL相加必然为0，因而任取其中一个节点的式子，都会与其他的节点线性相关。
因而设节点数共有nnn个，那么有效的KCL只有n−1n-1n−1个。

两种列式：
∑i=0\sum i=0 ∑i=0
∑outi=∑in\sum_\mathrm{out}i = \sum_\mathrm{in} out∑i=in∑

对KVL来说，首先列出平面网络各个网孔的KVL。随后我们发现任何非网孔的KVL是由网孔拼接而成。
类比格林公式的推导过程，中部相接的部分都被抵消了，只有外圈留下来，看似多了很多的方程，实际上这些“大圈”都是可由网孔KVL线性表出的。因而只需也只能列出网孔数mmm个相互独立的KVL方程。

KVL的列法更加灵活，除了经典的：
∑u=0\sum u=0 ∑u=0
∑downu=∑upu\sum_{\mathrm{down}}u=\sum_\mathrm{up}u down∑u=up∑u
还可以对广义KVL进行变形，将一个回路分成由相邻元件组成的两个子网络，表现在这个例子当中就是，对从A到B之间的两条路径进行分析。

有如下的方程：
uab=∑u1=∑u2u_{ab}=\sum u_1=\sum u_2 uab=∑u1=∑u2
这个方法在两条路的电压均从高到低时，一路可以将电压降相加。由于不用考虑正负号的问题，从而可以大大简化运算的难度。想想两条并排放在一起的长条，其中一条中的一部分被切去，那么求解这个问题，就是小学难度了。比如这个问题当中可以很容易看出这样的方程：
2U1=−IR2U_1=-IR 2U1=−IR

这个情形当中，另有一个有趣的性质。两个支路中有成比例的U1U_1U1。所以，IRIRIR和U1U_1U1线性相关。这个线性相关决定了外接一个电流即可解整个网孔。另外这个线性使得任一量变化后各量只需相应等比变化即可。

尽管方向和预期的不一样，但是这样的思考使得我们的求算更加直观了。这是一个有启发性的思考角度。
在规定方向的时候，如果各个元件都选取合理，将子网络又划分得巧妙，那么就可以使用这样的思路，从而使得问题当中判断电势降和电势升的过程被略去（尽管没有降低时间复杂度，减小了算法的常数）

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