玲珑oj 1032A-B（组合数学）

1032 - A-B

Time Limit：1s Memory Limit：128MByte

Submissions：528Solved：105

DESCRIPTION
你有n个球，需要把他们放到m个盒子里。要求拥有最多球的盒子唯一，问方案数。
INPUT
一行两个数n、m(n、m≤500)
OUTPUT
一行一个数，表示方案数。答案对998244353取模。
SAMPLE INPUT
5 2
SAMPLE OUTPUT
6

思路：

测试数据很水，很暴力的dp也能过，O（n^3）

dp[i][j]表示i个盒子里面一共放了j个球的情况。

假设球数最多的盒子里面放了k个球，那么剩下的m-1个盒子里面只能放n-k个球，每个盒子最多[0,k-1]个球。

dp[i][j] = ∑dp[i-1][j-x], x∈[0, k]。

用pre[i][j]来求dp[i][j]的前缀和来优化一下。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod = 998244353;
ll dp[550][550];
ll pre[550][550];int main(){int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);dp[0][0] = 1;for(int i=0; i<=n; i++) pre[0][i]=1;ll ans=0;for(int k=0; k<=n; k++){for(int i=1; i<m; i++){for(int j=0; j<=n; j++){dp[i][j]=0;/*for(int x=0; x<k; x++){ll sum = j-x>=0 ? dp[i-1][j-x]:0;dp[i][j] = (dp[i][j]+sum)%mod;}*/dp[i][j] = (pre[i-1][j] - (j-k>=0?pre[i-1][j-k]:0) + mod)%mod;pre[i][j] = ((j==0?0:pre[i][j-1]) + dp[i][j])%mod;}}ans = (ans+m*dp[m-1][n-k])%mod;}  printf("%lld\n", ans);return 0;
}

看了玲珑oj上面的题解，知道了一种 组合数学+容斥的解法

【ps：玲珑oj上面的题解有点小错误，，这个式子里减去的那部分忘记 *（-1）^k，整个式子要乘以盒子的数量，也就是m，非球的数量n】

利用容斥原理，最终的方案数=总方案数-不合法的方案数

find(i, j)表示将i个球放到j个盒子里的方案数，盒子里面允许为空

find(i, j) = C[i+j-1][j-1] 【这个公式不懂的可以参照这个博客：codeforces397C】

先枚举第一个盒子的数量，假设这是球数量最多的一个盒子，记为x，然后枚举有k个盒子球的数量>=第一个盒子

因此 ans = m*（ find(n, m) - ∑((-1)^k) * (C[m-1][k] * find(n-x*(k+1),m-1) ) ）, x∈[0,n], k∈[1,m-1]

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod = 998244353;
ll C[1050][1050];ll find(int x, int y){if(x+y-1<0 || y-1<0) return 0;return C[x+y-1][y-1];
}int main(){int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);C[0][0]=1;C[1][0] = C[1][1] = 1;  for (int i = 2; i <= 1000; i++){  C[i][0] = 1;  for (int j = 1; j <= 1000; j++)  C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod;  }  ll ans = 0;for(int x=0; x<=n; x++){for(int k=1; k<m; k++){ll sum = find(n-x*(k+1), m-1);ans = (ans + (k%2==1?1:-1)*C[m-1][k]*sum%mod)%mod;ans = (ans+mod)%mod;}}ans = (find(n, m)-ans+mod)%mod;ans = m*ans%mod;printf("%lld\n", ans);return 0;
}

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