如题：2021年10月

分析

n阶，可以理解为台阶，而不是阶乘，第一行需要存储元素数为1；第二行需要存储2个元素,第三行需要存储3个元素，依次类推…书中的特殊矩阵¹只讨论方阵（也就是行数和列数相同）的情形，并且只给出了对称矩阵、三角矩阵与稀疏矩阵三种情形.所以，n阶的话，就是每行有n个元素。

考点为：特殊矩阵的存储。这个题如果看讲义的话，就是讲义的原话，但不可能都记住，所以还是要明白如何推导出来的。这也是本篇的意义所在，就是明白，到底还有哪里不明白，不明白在哪里，而不是单纯看讲义；记一些结论性的东西。

解决

明白了n阶，什么是对称呢？a[i][j]=a[j][i];//这是对称矩阵重要的性质。
题目主要是考察对称矩阵，对称矩阵压缩存储三个特点：

主对角线：在矩阵中每个元素的行标等于纵标（i==j）。
上三角：在矩阵中每个元素的行标小于纵标（i<j）。
下三角：在矩阵中每个元素的行标大于纵标（i>j）。

由于元素关于主对角线对称，在存储时只存储对称矩阵的上三角或下三角元素，使得对称的元素共享一个存储空间。以行序为主序存储其下三角+主对角线的元素，共需要占用n/2*(n+1)个位置。也就是说，如果用一维数组存储的话，需要a[n/2*(n+1)]个元素。

题目问的是存储到一维数组后的序号k=它前面所有元素的个数=前面所有行的元素个数+所在行前面的所有元素（包括它本身）；这里就不要想当然了，认为是存储了所有的元素（相同的元素其实是不存储的），而是第0行其实只存储了一个元素，第1行存储了两个元素，第二行存储了三个元素…所以，第i行存储了i+1个元素。a[i][j]中的i确实是代表第i行，但在第i行只存储了j个元素，前面的第i-1行其实存储了i-1+1=i个元素，第i-2行存储了i-1,直到第0行存储了1个元素，所以总共存储元素数为1+2+…+i=i*(i+1)/2.
分析到这里就很清楚了，若将二维数组压缩存储一维数组时，下标k=i*(i+1)/2+j.情形如下图所示：

题目中明确说是存储的是下三角，也就是i>j的情形。据此可以，排除掉B、C、D了，答案只能是A
上三角的情形是一样的，一看公式的形式，就可以得到正确的结果。

扩展

三角矩阵

所谓的三角矩阵，就是主对角线两侧数据不再是对称的了，而是一侧数据全为0或常数c，这样也可以参照对称矩阵，只存储上三角或下三角的情形。
用一维数组存储的话，需要a[n/2*(n+1)+1]个元素。就比对称矩阵多存了一个常数或0.
若将一个下三角矩阵；a[i][j]压缩存储到一维数组里的话，对应的下标k的取值为那就和对称矩阵是一样的。下标k=i*(i+1)/2+j.i>=j；上三角部分都是c或0，如何表示k呢？其实就是a[n/2*(n+1)+1]最后一个元素下标，因为是从0开始的，所以最后一个元素下标为n*(n+1)/2.i<j

上三角矩阵的压缩存储

存储的元素数与下三角矩阵是一样的，所以下三角的常数或0的压缩存储下标k为n*(n+1)/2.i>j
上三角部分就不一样了，第0行存了n个元素，第1行存储n-1个元素…第i-1行可以存储n-i+1个元素，所以a[i][j];i还是表示行的话，前面i-1行一共存储了n+n-1+…+ n-i+1=i*(n-i+1+n)/2=i*(2n-i+1)/2;第i行存储了几个元素呢？这个就要想像了，主对角线上的i=j,所以上三角的情形，就是i<=j，所以第i行存储了j-i个元素；如下图所示：

转变成压缩存储a[k]中k=i*(2n-i+1)/2+j-i i<=j

涉及到的数学公式、总结

综合对称矩阵与三角矩阵，都涉及到等差数列求和公式，分析方法都是一样的，思想也是一样的。同时，对称矩阵与三角矩阵本质上也是一样的。
Sn=[n*(a1+an)]/2
注：a1是数列的首项，an是数列的末项。

稀疏矩阵

概念：存在大量的零元素，非零元素极小且分布没有规律的情形。
所谓的三元组法存储，就是存储了行号、列号、非零元素值。程序中采用的是结构体来实现。
详见：数据结构考点之一维数组实现矩阵转置算法

所谓的特殊矩阵是指矩阵中值相同或零元素的分布有一定的规律。 ↩︎

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