考研线性代数（矩阵）

1.矩阵的加法和数乘满足：交换律、结合律和分配律

2.矩阵的乘法满足：结合律和分配律

3.方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积

4.转置、伴随和逆矩阵服从穿脱原理

5.逆矩阵的求法：伴随矩阵；初等变换；分解为可逆矩阵的乘积

6.矩阵的n次方：

　　拆开矩阵的乘积再用矩阵的结合律；

　　拆成单位矩阵加一个有规律的矩阵，用展开式求解；

　　直接算，找规律，用数学归纳法

7.可交换的矩阵：

　　对角阵和对角阵；

　　单位矩阵和任何矩阵可交换；

　　可逆矩阵；

　　乘积为对称矩阵的两个矩阵；

　　A和其伴随矩阵

8.求抽象矩阵的逆

　　将等式一端凑出单位矩阵，另一端变为乘积；

　　若一个矩阵可以分解为若干个可逆矩阵的乘积，则该矩阵可逆；

　　两个矩阵和的逆可以用两个矩阵逆的和表示

9.分块矩阵的逆

　　见链接https://wenku.baidu.com/view/cddebafb04a1b0717fd5dd3d.html

10.可逆矩阵的判断

　　充要条件：行列式不为0；行向量组线性无关；Ax=0有唯一解；Ax=b对任意b有唯一解；秩等于阶数；所有特征值非0

11.初等矩阵的性质

　　对n阶矩阵进行初等行变换，等于左乘相应的初等矩阵

　　对矩阵进行初等列变换，等于右乘相应的初等矩阵（左行右列）

12.等价矩阵

　　设AB均为m*n矩阵，若存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，则称AB为等价矩阵；

　　秩相等是矩阵等价的充要条件；

　　若AB等价，则A经过若干次初等行变换可变为B；

　　若等价，则秩相同；

　　等价标准型（有待学习）

13.相似矩阵

　　设AB均为方阵，若存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，则称AB为相似矩阵

　　若存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=Λ，其中Λ是对角阵，则称Λ是A的相似标准形

　　实对称矩阵必可相似于对角阵

14.矩阵方程

　　AX,XA,AXB这类左乘或右乘A或B的逆

　　当AB不可逆时，例如AX=B，将X和B按列分块

　　若仍不可行，则将未知矩阵X直接带入

15.可逆线性变换（非退化线性变换或坐标变换）

16.合同二次型，合同矩阵

17.二次型的标准形、规范形

18.正定二次型及其判别

转载于:https://www.cnblogs.com/psymacome/p/7786941.html

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