Single image dehazing (Fattal)

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作者主页：http://www.cs.huji.ac.il/~raananf/

其他工作1：Automatic Recovery of the Atmospheric Light in Hazy Images（大气光的自动恢复）

其他工作2：Dehazing using Color-Lines（颜色线）

这篇文章提出一种新的从单幅输入图像中估计传输函数的方法。新方法中，重新定义了大气传输模型，大气散射模型中除了传输函数（transmission function）这个变量外，还增加了表面阴影（surface shading）这个变量。

作者假设一个前提，表面阴影和传输函数是统计无关的，根据这一前提对大气散射模型进行运算分析，即可求得传输函数并对图像去雾。

作者首先介绍了大气散射模型：

该式定义域RGB三颜色通道空间，表示探测系统获取的图像，是无穷远处的大气光，表示目标辐射光，即需要恢复的目标图像，表示传输函数，即光在散射介质中传输经过衰减等作用能够到达探测系统的那一部分的光的比例。

对大气散射模型进行变形，将需要恢复的目标图像视作表面反射系数（surface albedo coefficients）和阴影系数（shading factor）的按坐标的点乘，即，其中为三通道向量，是描述在表面反射的光的标量。即的尺度与相同，为灰度图像。为了简化，假设在某区域内为常数，即在像素区域内，为常数。则大气散射模型变为：

将向量分解成两个部分，一部分为与大气光平行的向量，另一部分为与大气光垂直的残留向量（residual vector），记作，且，表示与大气光向量垂直的所有向量构成的向量空间。如图所示，向量与向量之间的夹角为，从的端点引垂线到，垂足与的端点的连线即为向量。

对于重新定义的大气散射模型中的，将其写成平行于的向量与平行于的向量之和：

其中，记作，为表面反射和大气光的相关量或相关系数，表示在RGB空间中的两个三维向量的点积。

为了获得独立的方程，求取输入图像沿着大气光向量的那一分量（标量）为：

则输入图像沿着方向的那一分量（标量）为：

（因为向量和向量垂直，所以）。则有：

由上式解得传输函数为：

若已知无穷远出的大气光，则与均可求，唯一未知量为，所以求解的问题就归结为求解内的问题。

由于传输函数，所以传输函数与散射系数和景深有关，而表面阴影与场景的光照（illuminance in the scene）、表面反射属性（surface reflectance properties）和场景几何结构（scene geometry）有关。所以假设，阴影函数和传输函数不具有局部相关性，用协方差表示这种无关性为：

其中表示为在区域内两变量的协方差（covariance），协方差的计算公式为：

均值的计算公式为：

为了使计算简便，考虑和的协方差无关性，即通过解出的表达式。重新表达和为：

上述两式中，除了参数和为常量外，其余参数均为变量，式中定义为：

根据协方差公式的性质，和（a为常量），可以得到：

所以有，该式中由于和均为常量，所以可得，即，从而得到：

将解得的代入到传输函数的表达式中，即可解析去雾模型中的参量。

本例中为了方便计算，所选块状区域的大小为整幅输入图像的尺寸；

本文注重介绍传输函数的求解方法，所以无穷远处大气光的求解可以参考暗通道先验模型进行求解；最后恢复出的无雾图像需要进行一次线性拉伸，才能显示出去雾结果。

参考资料：

https://www.cnblogs.com/rust/p/10429333.html

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