彻底搞懂递归的时间复杂度

笔者编码10载，面过很多程序员简历上写着熟悉数据结构和算法，但是对于时间复杂度稍微深入点的问题，都回答的不怎么样，其实还是没懂

搞懂算法时间复杂度是一个优先程序员的分水岭

先来看letcode一道题，

泰波那契序列 Tn 定义如下：

T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2

给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

示例 1：

输入：n = 4
输出：4
解释：
T_3 = 0 + 1 + 1 = 2
T_4 = 1 + 1 + 2 = 4
示例 2：

输入：n = 25
输出：1389537

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/n-th-tribonacci-number
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

这是一道经典面试题，属于斐波那契数的升级版，很多人很快的写出算法

/*** @param {number} n* @return {number}*/
const tribonacci = (n) => {if (n === 0) {return 0;} else if (n === 1) {return 1;} else if (n === 2) {return 1;}return tribonacci(n - 1) + tribonacci(n - 2) + tribonacci(n - 3);
};

当然这道试题这样写会超时，原因就不细说了，这个时候面试官会问你这么写的算法时间复杂度是多少
有的同学可能一看到递归就想到了logn，其实并不是这样,问他是怎么算的，他好像并不知道

再看第二题

来看一下这道面试题：求x的n次方

大家想一下这么简单的一道题目代码应该如何写。

最直观的方式应该就是，一个for循环求出结果，代码如下

int function1(int x, int n) {int result = 1;  // 注意 任何数的0次方等于1for (int i = 0; i < n; i++) {result = result * x;}return result;
}

时间复杂度为O(n)

此时面试官会说，有没有效率更好的算法呢。

如果同学们此时没有思路，建议不要说：我不会，我不知道。可以和面试官探讨一下，问：可不可以给点提示。

面试官一般会提示：考虑一下递归算法

有的同学就写出了如下这样的一个递归的算法，使用递归解决了这个问题

int function2(int x, int n) {if (n == 0) {return 1; // return 1 同样是因为0次方是等于1的}return function2(x, n - 1) * x;
}

面试官问：那么这份代码的时间复杂度是多少？

有的同学可能一看到递归就想到了logn，其实并不是这样

递归算法的时间复杂度本质上是要看: 递归的次数 * 每次递归中的操作次数

那我们再来看代码，我们递归了几次呢。

每次n-1，递归了n次时间复杂度是O(n)，每次进行了一个乘法操作，乘法操作的时间复杂度一个常数项O(1)

所以这份代码的时间复杂度是 n * 1 = O(n)

这个时间复杂度可能就没有达到面试官的预期。

于是同学又写出了这样的一个递归的算法的代码如下，来求 x的n次方

int function3(int x, int n) {if (n == 0) {return 1;}if (n % 2 == 1) {return function3(x, n/2) * function3(x, n/2)*x;}return function3(x, n/2) * function3(x, n/2);
}

面试官看到后微微一笑，问这份代码的时间复杂度又是多少呢？

我们来分析一下

首先看递归了多少次呢，可以把递归的次数抽象出一颗满二叉树。

我们刚刚写的这个算法，可以用一颗满二叉树来表示（为了方便表示我选择n为偶数），如图：

当前这颗二叉树就是求x的n次方，n为16的情况

n为16的时候我们进行了多少次乘法运算呢

这棵树上每一个节点就代表着一次递归并进行了一次相乘操作

所以进行了多少次递归的话，就是看这棵树上有多少个节点。

熟悉二叉树的同学应该知道如何求满二叉树节点数量

这颗满二叉树的节点数量就是2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 15

有同学就会发现这其实是等比数列的求和公式，如果不理解的同学可以直接记下来这个结论。

这个结论在二叉树相关的面试题里也经常出现。

这么如果是求x的n次方，这个递归树有多少个节点呢，如下图所示

时间复杂度忽略掉常数项-1之后，我们发现这个递归算法的时间复杂度依然是O(n)。

此时面试官就会问，貌似这个递归的算法依然还是O(n)啊，很明显没有达到面试官的预期

那么在思考一下 O(logn)的递归算法应该怎么写

这里在提示一下上面刚刚给出的那份递归算法的代码，是不是有哪里比较冗余呢。

来看这份优化后的递归算法代码

int function4(int x, int n) {if (n == 0) {return 1;}int t = function4(x, n/2);// 这里相对于function3，是把这个递归操作抽取出来if (n % 2 == 1) {return t*t*x;}return t*t;
}

那我们看一下时间复杂度是多少

依然还是看他递归了多少次

我们可以看到这里仅仅有一个递归调用，且每次都是 n/2

所以这里我们一共调用了 log以2为底n的对数次

每次递归了做都是一次乘法操作，这也是一个常数项的操作，

所以说这个递归算法的时间复杂度才是真正的O(logn)。

如果同学们最后写出了这样的代码并且时间复杂度分析的非常清晰，相信面试官是比较满意的。

最后希望通过这么一个简单的面试题，让大家真正了解了递归算法的时间复杂度该如何分析。

主定理

介绍一个叫主定理的东西，这个定理为什么重要，就是因为这个主定理的话，其实它是用来解决所有递归的函数，怎么来计算它的时间复杂度。主定理本身的话，数学上来证明相对比较复杂（关于主定理可以参考维基百科：https://zh.wikipedia.org/wiki…）

也就是说，任何一个分治或者递归的函数，都可以算出它的时间复杂度，怎么算就是通过这个主定理。本身比较复杂的话，那怎样化简为实际可用的办法，其实关键就是这四种，一般记住就可以了

一般在各种递归的情形的话，有上边这四种情形，是在面试和平时工作中会用上

二分查找(Binary search)：一般发生在一个数列本身有序的时候，要在有序的数列中找到目标数，所以它每次都一分为二，只查一边，这样的话，最后它的时间复杂度是O(logn)

二叉树遍历(Binary tree traversal)：如果是二叉树遍历的话，它的时间复杂度为O(n)。因为通过主定理可以知道，它每次要一分为二，但是每次一分为二之后，每一边它是相同的时间复杂度。最后它的递推公式就变成了图中T(n)=2T(n/2)+O(1)这样。最后根据这个主定理就可以推出它的运行时间为O(n)。当然这里也有一个简化的思考方式，就是二叉树的遍历的话，会每一个节点都访问一次，且仅访问一次，所以它的时间复杂度就是O(n)

二维矩阵(Optimal sorted matrix search)：在一个排好序的二维矩阵中进行二分查找，这个时候也是通过主定理可以得出时间复杂度是O(n)，记住就可以了

归并排序(merge sort)：所有排序最优的办法就是nlogn，归并排序的时间复杂度就是O(nlogn)

再附一张主定理的计算方法，目前只找到的比较好的资料

总结：

递归可以使用递归树或者主定理去求解，需要多做题去掌握，下次千万不要碰到递归说是O(logn)了，如果有问题欢迎指正

课后作业

求整数n (n>=0)阶乘的算法如下，其时间复杂度是（）

int fact(int n){if (n<=l) return 1;return n*fact(n-1);
}

题2写一道算法题

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。

示例 1:

输入: [7,5,6,4]
输出: 5

限制：

0 <= 数组长度 <= 50000

/*** @param {number[]} nums* @return {number}*/var reversePairs = function(nums) {};