一文通俗搞懂线性无关特征向量个数≤特征值重数

线代有个很难理解的知识点，即同一特征值的线性无关特征向量个数要小于等于特征值重数。这个结论是怎么来的呢？本文用最朴素的证明来帮助大家弄懂这个知识点（结论推导所用的都是基础的线代知识，只是有些数学式子比较复杂，认真看完，理解很容易，相信自己！）。

a.首先一起看下会用到的两个tips：

tip 1：一定可以找到n个线性无关的n维向量，且它们可以表示任何一个n维向量

比如2维向量：能找到 α 1 = ( 1 , 0 ) T 和 α 2 = ( 1 , 1 ) T \alpha_{1}=(1,0)^{T} 和 \alpha_{2}=(1,1)^{T} α1=(1,0)T和α2=(1,1)T
两个线性无关的向量，能表示二维平面里面的所有向量。
3维向量：能找到 α 1 = ( 1 , 0 , 0 ) T ， α 2 = ( 1 , 1 , 0 ) T ， α 3 = ( 0 , 1 , 1 ) T \alpha_{1}=(1,0,0)^{T} ， \alpha_{2}=(1,1,0)^{T} ，\alpha_{3}=(0,1,1)^{T} α1=(1,0,0)T，α2=(1,1,0)T，α3=(0,1,1)T三个线性无关的向量，能表示三维立体空间里面的所有向量。

tip 2：来计算一下某种行列式的值

n阶行列式：

以5阶为例，一起来找规律。

由此可见，其行列式的值都是x的某次方乘以一堆式子。

于是我们将此规律扩展到n维：

拓展到n维（为了方便，将后面的常数用“星号”代替）
至此两个需要用到的tips讲完了，接着开始证明。

b.准备就绪，开始证明：

设A为n阶矩阵， λ 1 \lambda_{1} λ1 是它特征值（重根）， α 1 α m \alpha_{1} ~ \alpha_{m} α1 αm 分别为其m个线性无关的特征向量。所以我们所要证明的就是 λ 1 \lambda_{1} λ1 的重数要≥m

证明：

1.构造一个n阶可逆矩阵P：

由于 α 1 \alpha_{1} α1 ~ α m \alpha_{m} αm 为n维向量，所以一定能找到 α m + 1 \alpha_{m+1} αm+1 ~ α n \alpha_{n} αn，使 α 1 \alpha_{1} α1 ~ α n \alpha_{n} αn 线性无关且可以表示任何一个n维向量（根据前面tip 1得到的）
因此可以构造出一个n阶可逆矩阵
P = ( α 1 , α 2 , … , α m , α m + 1 , … ， α n ) P=\left( \alpha_{1} ,\alpha_{2} ,…,\alpha_{m} ,\alpha_{m+1} ,…，\alpha_{n} \right) P=(α1,α2,…,αm,αm+1,…，αn)

2.A左乘可逆矩阵P：

A P = ( A α 1 , A α 2 , … , A α m , A α m + 1 , … ， A α n ) AP=\left( A\alpha_{1} ,A\alpha_{2} ,…,A\alpha_{m} ,A\alpha_{m+1} ,…，A\alpha_{n} \right) AP=(Aα1,Aα2,…,Aαm,Aαm+1,…，Aαn)
由特征值与特征向量的关系： A α i = λ 1 α i A\alpha_{i}=\lambda_{1}\alpha_{i} Aαi=λ1αi （其中i=1，2，……，m）得
A P = ( λ 1 α 1 , λ 1 α 2 , … , λ 1 α m , A α m + 1 , … ， A α n ) AP=\left( \lambda_{1}\alpha_{1} ,\lambda_{1}\alpha_{2} ,…,\lambda_{1}\alpha_{m} ,A\alpha_{m+1} ,…，A\alpha_{n} \right) AP=(λ1α1,λ1α2,…,λ1αm,Aαm+1,…，Aαn)
又因为： A α i A\alpha_{i} Aαi 的结果为n维向量（i=m+1，m+2，…，n）
所以 A α i A\alpha_{i} Aαi 的结果可以用 α 1 \alpha_{1} α1 ~ α n \alpha_{n} αn 线性表示出来（根据tip 1得到的），即：
A α i = a 1 i α 1 + a 2 i α 2 + … + a n i α n = ∑ k = 1 n a k i α k （ i = m + 1 ， m + 2 ， … ， n ） A\alpha_{i}=a_{1i}\alpha_{1}+a_{2i}\alpha_{2}+…+a_{ni}\alpha_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_{ki}\alpha_{ k}} （i=m+1，m+2，…，n） Aαi=a1iα1+a2iα2+…+aniαn=∑k=1nakiαk（i=m+1，m+2，…，n）

2.把AP的结果用矩阵表示：

A P = ( λ 1 α 1 , λ 1 α 2 , … , λ 1 α m , A α m + 1 , … ， A α n ) AP=\left( \lambda_{1}\alpha_{1} ,\lambda_{1}\alpha_{2} ,…,\lambda_{1}\alpha_{m} ,A\alpha_{m+1} ,…，A\alpha_{n} \right) AP=(λ1α1,λ1α2,…,λ1αm,Aαm+1,…，Aαn)
⇒ A P = ( λ 1 α 1 , λ 1 α 2 , … , λ 1 α m , ∑ k = 1 n a k ( m + 1 ) α k , … ， ∑ k = 1 n a k n α k ) \Rightarrow AP=\left( \lambda_{1}\alpha_{1} ,\lambda_{1}\alpha_{2} ,…,\lambda_{1}\alpha_{m} ,\sum_{k=1}^{n}{a_{k(m+1)}\alpha_{ k}} ,…，\sum_{k=1}^{n}{a_{kn}\alpha_{ k}} \right) ⇒AP=(λ1α1,λ1α2,…,λ1αm,∑k=1nak(m+1)αk,…，∑k=1naknαk)
⇒ A p = ( α 1 , α 2 , … , α m , α m + 1 , … ， α n ) \Rightarrow Ap=\left( \alpha_{1} ,\alpha_{2} ,…,\alpha_{m} ,\alpha_{m+1} ,…，\alpha_{n} \right) ⇒Ap=(α1,α2,…,αm,αm+1,…，αn)· ( λ 1 a 1 ( m + 1 ) ⋯ a 1 n λ 1 a 2 ( m + 1 ) ⋯ a 2 n ⋱ ⋮ ⋮ λ 1 a m ( m + 1 ) ⋯ a m n 0 0 ⋯ 0 a ( m + 1 ) ( m + 1 ) ⋯ a ( m + 1 ) n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 a n ( m + 1 ) ⋯ a n n ) \begin{pmatrix} \lambda_{1}& & & & a_{1(m+1)}&\cdots&a_{1n} \\ & \lambda_{1} & & & a_{2(m+1)}&\cdots&a_{2n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1} & a_{m(m+1)}&\cdots&a_{mn}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{(m+1)(m+1)}&\cdots&a_{(m+1)n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&a_{n(m+1)}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛λ10⋮0λ10⋮0⋱⋯⋯λ10⋮0a1(m+1)a2(m+1)⋮am(m+1)a(m+1)(m+1)⋮an(m+1)⋯⋯⋯⋯⋯a1na2n⋮amna(m+1)n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
所以就有： P − 1 A P = ( λ 1 a 1 ( m + 1 ) ⋯ a 1 n λ 1 a 2 ( m + 1 ) ⋯ a 2 n ⋱ ⋮ ⋮ λ 1 a m ( m + 1 ) ⋯ a m n 0 0 ⋯ 0 a ( m + 1 ) ( m + 1 ) ⋯ a ( m + 1 ) n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 a n ( m + 1 ) ⋯ a n n ) P^{-1}AP= \begin{pmatrix} \lambda_{1}& & & & a_{1(m+1)}&\cdots&a_{1n} \\ & \lambda_{1} & & & a_{2(m+1)}&\cdots&a_{2n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1} & a_{m(m+1)}&\cdots&a_{mn}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{(m+1)(m+1)}&\cdots&a_{(m+1)n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&a_{n(m+1)}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} P−1AP=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛λ10⋮0λ10⋮0⋱⋯⋯λ10⋮0a1(m+1)a2(m+1)⋮am(m+1)a(m+1)(m+1)⋮an(m+1)⋯⋯⋯⋯⋯a1na2n⋮amna(m+1)n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

3.减去 λ E \lambda E λE后，取行列式：

P − 1 A P − λ E = ( λ 1 a 1 ( m + 1 ) ⋯ a 1 n λ 1 a 2 ( m + 1 ) ⋯ a 2 n ⋱ ⋮ ⋮ λ 1 a m ( m + 1 ) ⋯ a m n 0 0 ⋯ 0 a ( m + 1 ) ( m + 1 ) ⋯ a ( m + 1 ) n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 a n ( m + 1 ) ⋯ a n n ) − λ E P^{-1}AP-\lambda E= \begin{pmatrix} \lambda_{1}& & & & a_{1(m+1)}&\cdots&a_{1n} \\ & \lambda_{1} & & & a_{2(m+1)}&\cdots&a_{2n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1} & a_{m(m+1)}&\cdots&a_{mn}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{(m+1)(m+1)}&\cdots&a_{(m+1)n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&a_{n(m+1)}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} -\lambda E P−1AP−λE=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛λ10⋮0λ10⋮0⋱⋯⋯λ10⋮0a1(m+1)a2(m+1)⋮am(m+1)a(m+1)(m+1)⋮an(m+1)⋯⋯⋯⋯⋯a1na2n⋮amna(m+1)n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞−λE
左边： P − 1 A P − λ E = P − 1 A P − λ P − 1 P = P − 1 （ A − λ E ） P P^{-1}AP-\lambda E=P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P=P^{-1}（A-\lambda E）P P−1AP−λE=P−1AP−λP−1P=P−1（A−λE）P
右边： ( λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ ⋱ ⋮ ⋮ λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ 0 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ) \begin{pmatrix} \lambda_{1}-\lambda& & & & *&\cdots&* \\ & \lambda_{1}-\lambda & & & *&\cdots&*\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1}-\lambda & *&\cdots&*\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & *&\cdots&* \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&*&\cdots&*\\ \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛λ1−λ0⋮0λ1−λ0⋮0⋱⋯⋯λ1−λ0⋮0∗∗⋮∗∗⋮∗⋯⋯⋯⋯⋯∗∗⋮∗∗⋮∗⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞ （为了方便，将后面的常数用“星号”代替）
即得： P − 1 （ A − λ E ） P = ( λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ ⋱ ⋮ ⋮ λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ 0 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ) P^{-1}（A-\lambda E）P= \begin{pmatrix} \lambda_{1}-\lambda& & & & *&\cdots&* \\ & \lambda_{1}-\lambda & & & *&\cdots&*\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1}-\lambda & *&\cdots&*\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & *&\cdots&* \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&*&\cdots&*\\ \end{pmatrix} P−1（A−λE）P=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛λ1−λ0⋮0λ1−λ0⋮0⋱⋯⋯λ1−λ0⋮0∗∗⋮∗∗⋮∗⋯⋯⋯⋯⋯∗∗⋮∗∗⋮∗⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
最后取行列式得：
左边： ∣ P − 1 （ A − λ E ） P ∣ = ∣ P − 1 ∣ ∣ A − λ E ∣ ∣ P ∣ = ∣ A − λ E ∣ |P^{-1}（A-\lambda E）P|=|P^{-1}||A-\lambda E||P|=|A-\lambda E| ∣P−1（A−λE）P∣=∣P−1∣∣A−λE∣∣P∣=∣A−λE∣
右边：根据之前的tip 2得： ( λ 1 − λ ) m ( 一堆式子 ) (\lambda_{1}-\lambda)^{m}(一堆式子) (λ1−λ)m(一堆式子)
即得： ∣ A − λ E ∣ = ( λ 1 − λ ) m ( 一堆式子 ) |A-\lambda E|=(\lambda_{1}-\lambda)^{m}(一堆式子) ∣A−λE∣=(λ1−λ)m(一堆式子) ，
所以可以得到 λ 1 \lambda_{1} λ1 至少为m重根，为什么至少呢？因为有可能后面乘以的一堆式子中可以提取出若干个 ( λ 1 − λ ) (\lambda_{1}-\lambda) (λ1−λ) 出来，所以用至少这个词。
到此为止，我们得到想证的 λ 1 \lambda_{1} λ1 的重数要≥m，命题成立。

到此结束~
我是煜神学长，考研我们一起加油！！！

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