最优布线问题

题目

学校有 n n n 台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来。两台计算机被连接是指它们之间有数据线连接。由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接费用往往是不同的。
当然，如果将任意两台计算机都用数据线连接，费用将是相当庞大的。为了节省费用，我们采用数据的间接传输手段，即一台计算机可以间接的通过若干台计算机（作为中转）来实现与另一台计算机的连接。
现在由你负责连接这些计算机，你的任务是使任意两台计算机都连通（不管是直接的或间接的）。

输入

第一行为整数 n n n （ 2 < = n < = 100 ）（ 2 <= n <= 100 ）（2<=n<=100），表示计算机的数目。此后的 n n n 行，每行 n n n 个整数。第 x + 1 x+1 x+1 行 y y y 列的整数表示直接连接第 x x x 台计算机和第 y y y 台计算机的费用。

输出

一个整数，表示最小的连接费用。

样例

input

3
0 1 2
1 0 1
2 1 0

output

2 ( 注：表示连接 1 和 2 ， 2 和 3 ，费用为 2 ） ( 注：表示连接1和2，2和3，费用为2） (注：表示连接1和2，2和3，费用为2）

解题思路

两种方法

第一种： 普里姆算法（ p r i m ）（prim）（prim）
蓝白点思想：白点入队，蓝点未入
每次循环将一个蓝点变为白点，此蓝点和白点连接的路径是当前所有蓝点中最短
并更新剩下的蓝点和白点之间的最短距离

初始所有都是蓝点
m [ 1 ] = 0 m[1]=0 m[1]=0
m [ 2 − n ] = ∞ m[2-n]=∞ m[2−n]=∞

先找到点 1 1 1，变为白点，并更新跟它相连的 2 2 2， 3 3 3， 4 4 4 到白点的距离
m [ 2 ] = 2 m[2]=2 m[2]=2
m [ 3 ] = 4 m[3]=4 m[3]=4
m [ 4 ] = 7 m[4]=7 m[4]=7

第二次找到当前蓝点中与白点相连最短的点 2 2 2，变为白点
更新与它相连的 3 3 3， 5 5 5 到白点的距离
m [ 3 ] = 1 m[3]=1 m[3]=1
m [ 5 ] = 2 m[5]=2 m[5]=2

第三次找到当前蓝点中与白点相连最短的点 3 3 3，变为白点
更新与它相连的 4 4 4， 5 5 5 到白点的距离
m [ 4 ] = 1 m[4]=1 m[4]=1
m [ 5 ] = 2 m[5]=2 m[5]=2 因为原来到达 5 的距离更短，所以不变

最后两次，依次把点 4 4 4 和点 5 5 5 添加进树

第二种：克里斯科尔（ k r u s k a l ）（kruskal）（kruskal）
初始所有点属于不同的集合，自己属于自己
每次循环找到两个不同的集合的最短路径，合并集合
直到所有点在同一集合

点与点的权值

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

代码

第一种： 普里姆算法（ p r i m ）（prim）（prim）

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,ans;
int a[120][120],m[120],p[120];
int main()
{scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&a[i][j]);memset(m,0x7f,sizeof(m));  //初始所有蓝点与白点之间无穷大memset(p,0,sizeof(p));m[1]=0;  //点1初值为0for (int i=1;i<=n;i++){int k=0;for (int j=1;j<=n;j++)if (p[j]==0&&m[j]<m[k])k=j;  //找到当前与白点相连最短的蓝点p[k]=1;ans+=m[k];  //累加代价for (int j=1;j<=n;j++)if (p[j]!=1&&a[k][j]<m[j])m[j]=a[k][j];  //更新此蓝点到白点的距离}cout<<ans<<endl;return 0;
}

第二种：克里斯科尔（ k r u s k a l ）（kruskal）（kruskal）

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,ans;
const int INF=0x7ffffff;
int a[120][120],p[120],x,y;
int main()
{scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;i++){for (int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&a[i][j]);p[i]=i;  //自己属于自己的集合}for (int i=1;i<=n-1;i++){int mi;mi=INF;for (int j=1;j<=n;j++)for (int k=1;k<=n;k++)if (p[j]!=p[k]&&a[j][k]!=0&&a[j][k]<mi)  //分属于不同的集合并且有路而且路比当前最小还小{  mi=a[j][k];x=j;y=k;  //存当前最短路径的起点与终点}ans+=mi;  //累加代价int s=p[y],t=p[x];  //要另存，不然p[y]被改后，属于它的集合的别的点没有被合并for (int j=1;j<=n;j++)if (p[j]==s)  //合并集合p[j]=t;}cout<<ans<<endl;return 0;
}