本节介绍稳定性分析的原理以及代数稳定性判据（劳斯判据）
本节介绍系统稳态误差的定义及计算方法
本节介绍时域校正方法

文章目录

稳定性分析
- 稳定的充要条件与必要条件
- 劳斯判据-Routh
- - 例题
  - 两种特殊情况
  - 问题辨析
稳态误差
- 误差与稳态误差的定义
- 计算稳态误差的一般方法
- 静态误差系数法
- 动态误差系数法
- 扰动作用下的稳态误差
时域校正
- 反馈校正
- 复合校正

以下内容，均针对线性系统

稳定性分析

稳定性的定义：
在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，如果扰动消除后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则系统不稳定。

稳定的充要条件与必要条件

充要条件

扰动发生后要求回到原来的平衡状态，也就是单位脉冲响应为0。（认为单位脉冲为典型扰动输入）
lim ⁡ t → ∞ k ( t ) = 0 \lim \limits_{t\rightarrow \infty}k(t)=0 t→∞limk(t)=0

c i c_i ci是 s = − p i s=-p_i s=−pi处的留数。因此 lim ⁡ t → ∞ k ( t ) = 0 \lim \limits_{t\rightarrow \infty}k(t)=0 t→∞limk(t)=0的充要条件是：特征根具有负实部，也就是系统的闭环极点全部位于左半s平面

必要条件

控制系统稳定的必要条件是：特征方程的各项系数具有相同的符号，且都不为0
在计算代数稳定判据之前可以先行做初步判断

劳斯判据-Routh

列出劳斯表：

特征方程各项按照幂次从高到低排序，劳斯表第一行是奇数项（第1，3，5，7，9项）系数。第二行是偶数项（第2，4，6，8，10项）系数。
之后第x行的第y个元素等于
− 1 第 x − 1 行的第一个元素 ⋅ 第 x − 1 和 x − 2 行的第 1 和第 i + 1 个元素组成的行列式 -\frac{1}{第x-1行的第一个元素}\cdot 第x-1和x-2行的第1和第i+1个元素组成的行列式 −第x−1行的第一个元素1⋅第x−1和x−2行的第1和第i+1个元素组成的行列式
计算到最后s¹、s⁰的时候，劳斯表一行只有一个元素。可以通过这个检查是否计算正确。

劳斯判据 ：劳斯表第一列元素符号改变次数=特征方程在右半平面内的根的个数。
因此，当劳斯表第一列元素具有相同的符号，则系统稳定。

在计算时，某一行元素同时乘或除某一个数不影响最终的稳定性结论，因此遇到分数或者过大的数，可以先去分母\约分处理以简化运算。（后面例题为了直观并没有这样操作）

例题

用劳斯判据判断系统是否稳定

判断稳定性的题，如果没有特殊要求一定先看是否满足必要条件。如果过不满足那么可以直接结论不稳定。
用劳斯判据确定参数范围

两种特殊情况

某行的第一列为0，但这一行不全为0

使用一个很小的正数 ε \varepsilon ε代替0，继续运算

某一行全部为0

用上一行元素构建辅助方程，对s求导一次，用新方程的系数代替全零行的系数继续运算

出现全零行的一定是奇次行。

出现全零行有可能是：特征方程有以原点对称的实根、以原点对称的虚根、以虚轴对称的共轭复根。具体是哪一种，需要令辅助方程=0，求解。

问题辨析

系统稳定性是系统自身的属性，与输入的类型、形式无关
系统是否稳定，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。（闭环零点影响动态性能，但不影响稳定性。闭环极点决定系统稳定性，也影响动态性能）
补：增加闭环零点：峰值时间靠前，超调量增大
增加闭环极点：峰值时间靠后，超调量减小
闭环系统稳定性与其开环是否稳定无关

稳态误差

稳态误差是系统的稳态性能指标，是对系统控制精度的度量。
误差包括永久性误差，比如由于参数漂移、元件老化等带来的误差，还有原理性误差，即由于系统结构、参数引入的误差。这里只讨论原理性误差
通常把阶跃输入下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统，反之称为有差系统

误差与稳态误差的定义

按输入端定义的误差
按输出端定义的误差

两种定义本质上是一样的，如果再进一步推导，就有：
E ′ ( s ) = E ( s ) H ( h ) E'(s)=\displaystyle \frac{E(s)}{H(h)} E′(s)=H(h)E(s)

以下的分析都是基于输入端定义的误差进行的。

稳态误差
误差传递函数： Φ e = E ( s ) R ( s ) \Phi_e=\displaystyle \frac{E(s)}{R(s)} Φe=R(s)E(s)
e ( t ) = L − 1 [ E ( s ) ] = r ( t ) − c ( t ) e(t)=\mathscr{L}^{-1}[E(s)]=r(t)-c(t) e(t)=L−1[E(s)]=r(t)−c(t)
由于系统输出分为暂态分量和稳态分量，因此误差也分为暂态分量和稳态分量：
e ( t ) = e t s ( t ) + e s s ( t ) e(t)=e_{ts}(t)+e_{ss}(t) e(t)=ets(t)+ess(t)
ts->temporary state
ss->stable state， e s s = lim ⁡ t → ∞ e ( t ) = e ( ∞ ) e_{ss}=\lim \limits_{t \rightarrow \infty}e(t)=e(\infty) ess=t→∞lime(t)=e(∞)
系统的稳态误差就是误差的稳态分量

计算稳态误差的一般方法

判断系统稳定性「这一点非常重要，因为只有对稳定的系统研究稳态误差才有意义」
求误差传递函数「可以用梅逊公式快速得结果」
用终值定理求稳态误差

来看一道例题：

一般方法虽然实用但一般不会使用它。下面介绍静态误差系数法：

静态误差系数法

构建如下的系统：

开环传递函数 G ( s ) = K s v G 0 ( s ) G(s)=\frac{K}{s^v}G_0(s) G(s)=svKG0(s)
G₀化成尾1标准型所以K是开环增益
v是系统型别(就是一个分类标准，v=0叫做0型，v=1叫做1型)

仍然使用一般方法计算稳态误差。
根据不同的输入，分别代入求解，由此引出静态位置误差系数、静态速度误差系数、静态加速度误差系数的定义。

再根据不同的系统型别，分别计算出三个静态误差系数:

型别v	K_p	K_v	K_a
0	K	0	0
1	∞ \infty ∞	K	0
2	∞ \infty ∞	∞ \infty ∞	K

再带回，计算系统的稳态误差：

型别v	e_ssp	e_ssv	e_ssa
0	A 1 + K \frac{A}{1+K} 1+KA	∞ \infty ∞	∞ \infty ∞
1	0	A K \frac{A}{K} KA	∞ \infty ∞
2	0	0	A K \frac{A}{K} KA

有了这两个表，就可以很方便的计算系统的误差了，来看一道例题：

例题2:

从这道例题里面可以看出：按前馈补偿的复合控制方案可以提高系统的稳态精度

例题3:

从这道例题可以看出：在主反馈口到干扰作用点之前的前向通道中提高增益、引入积分环节，可以同时减小或消除输入和干扰作用下产生的稳态误差。。

例题4:

在这道例题里面，我们一定注意，在计算稳态误差等等性能指标之前，一定确定系统是稳定的。尤其是这种需要自定义参数的题目。

动态误差系数法

静态误差系数法只能求出最终的误差稳态值e_ss。而使用动态误差系数法可以研究误差中的稳态分量e_s(t)随时间的变换规律

首先把误差传递函数展开，称E(s)的泰勒展开为误差级数。 C i = 1 i ! Φ e ( i ) ( 0 ) C_i=\frac{1}{i!}\Phi_e^{(i)}(0) Ci=i!1Φe(i)(0)，称 C i C_i Ci为动态误差系数
按照定义来算的话， C i = 1 i ! Φ e ( i ) ( 0 ) C_i=\frac{1}{i!}\Phi_e^{(i)}(0) Ci=i!1Φe(i)(0)但是这样的计算方法比较繁琐所以一般使用长除法：

（将开环传递函数按升幂排列才能除出级数的形式）

这个问题需要注意的是，即使稳态误差是无穷大，控制系统仍然是可用的。比如导弹的控制系统，导弹打出去几分钟就爆炸了，那么只要在这几分钟之内误差满足要求就好了。

扰动作用下的稳态误差

之前的讨论是从输入端直接有输入时造成的干扰。而接下来单独讨论某一个特定的扰动作用下产生的稳态误差。

其实分析方法都是一样的，使用的是动态误差系数法。不同在于传递函数变成了误差传递函数

时域校正

校正：采用适当的方式，在系统中加入一些校正装置，用以改善系统性能，使系统满足指标要求。
校正装置：结构和参数可调整的装置
校正方式：串连校正、反馈校正、复合校正

时域校正不怎么常用，了解即可

反馈校正

反馈的作用：
局部正反馈可以提高环节增益

增加局部正反馈之后系统增益变大，调节时间变长。

增加局部反馈之前，系统不稳定。而增加这个反馈之后系统变得稳定，也就是被校正了。

复合校正

复合校正就是串联校正加上反馈校正。串连校正前面没有讲过，其实就是加一个环节。
看下面这个例题：

在这道题里面，G₁G₂属于前馈校正元件，K₁是串连校正元件的增益， 1 s \frac{1}{s} s1是反馈校正元件。

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