Accumulation Degree

有一个有n个节点，n-1条河道的树形水系，每个河道有一个最大容水量\(c[x][y]\)表示点x到y的最大容水量，源点可以源源不断出水，以源点作为根节点的树的叶子结点可以无限接纳水，而一个节点水的流量等于流过其儿子节点的水的流量之和，儿子节点水的流量不能超过其与父亲连边的最大容水量，询问最大的源点水流量，\(n\leq 2\times 10^5\)。

解

显然为树形递推题，难点在根节点不定，不妨先枚举根节点，设\(f[x]\)表示以x为根节点的子树中最大的水流量，不难有

\[f[x]=\sum_{y\in son(x)}min(f[y],c[x][y])\]

边界：叶子结点f无限大，其余为0

答案：f[r],r为根节点

但是因为枚举了根节点，时间复杂度为\(O(n^2)\)，所以关键在解决根节点，而对于每个根节点求出来的信息，我们并没有充分利用，借着询问常用的维护的思想，不妨设\(g[x]\)表示以x为根节点的最大水量，自然也就有

\[g[x]=f[x]+min(g[y]-min(g[y],c[x][y]),c[x][y])\]

于是求出随便一个根节点的f，然后求出所有g即可，其实这就是二次递推和换根法。

附录：

其实注意到叶子节点的特殊性，所以叶子节点的f的转移方程，需要直接转移边权，不进行大小比较，同样对于g的求法，也要判断第一次的根节点是否为叶结点，因为它不作为根节点时候，它的流量是无限大，同理当你要求的g为叶结点时，也要特判，因为此时用于转移g的节点，也就是它的父亲节点直接利用的f值为0,是不合法的，所以网上很多的代码求g时少特判一个叶子结点，所以叶子结点的g值求的是错的，但是答案显然是靠中间更优秀，于是是否特判也就无所谓了，所以以下的代码，也没有进行特判，难的为了学术的严谨，加一点常数,也告诉了我们，一道题目边界的重要性。

参考代码：

dfs:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
#define intmax 0x7fffffff
using namespace std;
struct point{int next,to,w;
}ar[400005];int at;
bool check[200005];
int head[200005],f[200005],g[200005],out[200005];
il int min(int,int);
void dfs(int),root(int);
il void read(int&),link(int,int,int);
int main(){int lsy;read(lsy);while(lsy--){int n;read(n),at&=0;memset(f,0,sizeof(f));memset(g,0,sizeof(g));memset(out,0,sizeof(out));memset(head,0,sizeof(head));for(int i(1),j,k,w;i<n;++i)read(j),read(k),read(w),link(j,k,w),link(k,j,w),++out[j],++out[k];dfs(1),g[1]=f[1],root(1);int ans(0);for(int i(1);i<=n;++i)if(ans<g[i])ans=g[i];printf("%d\n",ans);}return 0;
}
void root(int x){check[x]&=false;for(int i(head[x]);i;i=ar[i].next)if(check[ar[i].to]){if(out[x]==1)g[ar[i].to]=f[ar[i].to]+ar[i].w;else g[ar[i].to]=f[ar[i].to]+min(g[x]-min(ar[i].w,f[ar[i].to]),ar[i].w);//带了一些未解释的贪心/*else{if(out[ar[i].to]==1)g[ar[i].to]=f[ar[i].to]+min(g[x]-ar[i].w,ar[i].w);else g[ar[i].to]=f[ar[i].to]+min(g[x]-min(ar[i].w,f[ar[i].to]),ar[i].w);
// 实际应该打法}*/root(ar[i].to);}
}
il int min(int a,int b){return a<b?a:b;
}
void dfs(int x){check[x]|=true;for(int i(head[x]);i;i=ar[i].next)if(!check[ar[i].to]){dfs(ar[i].to);if(out[ar[i].to]==1)f[x]+=ar[i].w;else f[x]+=min(f[ar[i].to],ar[i].w);}
}
il void link(int u,int v,int w){ar[++at].to=v,ar[at].w=w;ar[at].next=head[u],head[u]=at;
}
il void read(int &x){x&=0;ri char c;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
}

bfs

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
#define intmax 0x7fffffff
using namespace std;
struct point{int next,to,w;
}ar[400005];int at;
bool check[200005];
int T[200005],head[200005],out[200005],n,f[200005],g[200005],pa[200005],w[200005];
il void read(int&),link(int,int,int),bfs(int);
template<class free>il free Min(free,free);
int main(){int lsy;read(lsy);while(lsy--){read(n),at&=0;memset(f,0,sizeof(f));memset(g,0,sizeof(g));memset(out,0,sizeof(out));memset(head,0,sizeof(head));memset(check,0,sizeof(check));for(int i(1),j,k,l;i<n;++i)read(j),read(k),read(l),link(j,k,l),link(k,j,l),++out[j],++out[k];bfs(1);int ans(0);for(int i(1);i<=n;++i)if(g[i]>ans)ans=g[i];printf("%d\n",ans);}return 0;
}
template<class free>
il free Min(free a,free b){return a<b?a:b;
}
il void bfs(int s){int h(0),t(1);T[1]=s;while(h<t){++h,check[T[h]]|=true;for(int i(head[T[h]]);i;i=ar[i].next)if(!check[ar[i].to])T[++t]=ar[i].to,pa[ar[i].to]=T[h],w[ar[i].to]=ar[i].w;}for(int i(n);i;--i){if(out[T[i]]==1)f[pa[T[i]]]+=w[T[i]];else f[pa[T[i]]]+=Min(f[T[i]],w[T[i]]);}g[1]=f[1];for(int i(2);i<=n;++i){if(out[pa[T[i]]]==1)g[T[i]]=f[T[i]]+w[T[i]];else g[T[i]]=f[T[i]]+min(g[pa[T[i]]]-min(w[T[i]],f[T[i]]),w[T[i]]);}
}
il void link(int u,int v,int w){ar[++at].to=v,ar[at].w=w;ar[at].next=head[u],head[u]=at;
}
il void read(int &x){x&=0;ri char c;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
}