【数据结构】图的基本操作

一、问题描述

分别以邻接矩阵和邻接表作为存储结构，实现以下图的基本操作：

增加一个新结点v，Insert(G,v)；
删除顶点v及其相关的边，Delete(G,v)；
增加一条边<v,w>，Insert(G,v,w)；
删除一条边<v,w>，Delete(G,v,w)；

二、设计思路

1、邻接矩阵实现：

邻接矩阵实现图的基本操作，主要通过二维数组寻址方式进行数据处理。函数包括：邻接矩阵创建并存储数据、顶点寻址、增加顶点、删除顶点、增加边、删除边、邻接矩阵打印。

邻接矩阵创建并存储，先根据输入的总顶点数、边数对二维数组初始化，边权为MaxInt，表示两点无关联。将顶点信息存储至顶点数组集中。存储数据时，依次循环根据输入边相关的两点以及权重，先通过顶点寻址函数寻找两点位置，后利用二维数组将矩阵相应位置边权赋予新值，完成数据存储。

顶点寻址函数设计，只需根据顶点信息，在顶点数组集中遍历，返回其对应数组下标即可。

增加顶点时，在顶点数组集中增加一位，并将邻接矩阵中多加的一行一列赋值为MaxInt。

删除顶点时，需要通过数组移动，列方面从待删点开始右侧数据，全部左移；行方面从待删顶点开始下方数据，全部上移。最后删除顶点在顶点数组中的位置。上述操作通过数组移动实现开销较大，也可以在删除时，将最后一个顶点相关信息替代删除顶点，因为本身顶点在数组中的位置无现实意义，可减少算法时间复杂度。

增加边时，通过顶点寻址函数获取两个顶点位置，通过二维数组将邻接矩阵中对应的边权赋予新值即可。

删除边时，通过顶点寻址函数获取两个顶点位置，通过二维数组将邻接矩阵中对应的边权赋予MaxInt即可。

邻接矩阵打印，只需通过二维数组，将其各行各列依次输出，为了增加矩阵可观性，可输出行名、列名以及控制权重输出格式。

最后通过主函数测试上述所有的函数。

2、邻接表实现：

邻接表实现图的基本操作，主要通过数组+链表方式进行数据处理。函数包括：邻接表创建并存储数据、顶点寻址、增加顶点、删除顶点、增加边、删除边、邻接表打印。

邻接表创建并存储，先根据输入的总顶点数、边数对邻接表初始化，数组单元接收顶点信息，由于开始无边，将各单元firstarc指针赋NULL，避免野指针。存储边信息时，创建两个边结点并创建相应指针，在边结点中存储边权以及关联点通过顶点寻址函数查找的下标（如a、b两个顶点，则边结点e1中adjvex存放为b的下标，边结点e2中adjvex存放为a的下标）。并将边结点插入各自数组单元的关联顶点链表首结点（即被各单元firstarc指针指向）。

顶点寻址函数设计，只需根据顶点信息，在顶点数组集中遍历，返回其对应数组下标即可。

增加顶点，只需在邻接表数组单元vertices中存储新的顶点信息，并将其firstarc指针赋值为NULL。

删除顶点，下述操作：先删除待删顶点中所有关联顶点链表中其他顶点信息；用最后一个顶点替代删除结点位置(目的在于避免顶点表中出现废弃点占位情况)。实现操作需要遍历邻接表数组单元vertices中关联顶点链表中所有的adjvex，与待删顶点的位置下标比对，相同时删除该结点。结点删除时，需要单独优先考虑表头首结点元素中adjvex是否为待删结点下标，循环删除至表头结点adjvex不为待删结点下标为止，遍历后续所有结点（优先考虑的原因是表头结点有一个firstarc指向问题，不考虑则会出现断链情况）。删除完待删结点在其他单元的信息时，循环待删结点所在单元格关联顶点链表所有结点，将firstarc赋值为NULL。最后将数组vertices中最后一个顶点替代待删结点位置（数组前移覆盖会增加额外的开销）。

增加边即为上述邻接表存储步骤单次操作，通过创建两个边结点，分别赋值相应数据后，插入两个对应vertices单元格的关联顶点链表的表头（即成为首结点）。

删除边，即为删除顶点中单次操作，先定位待删边的两个顶点位置，然后遍历两个顶点对应数组vertices单元中的关联顶点链表，查找adjvex的值，删除含有对应顶点位置的边结点，同样注意单独考虑首结点是否含有删除对应顶点位置信息。

用于删除函数多次使用，因此在优化时，将输出函数提取。

邻接表打印时，依次访问vertices所有单元中的关联顶点链表，输出所有其中边结点的adjvex对应的顶点信息以及边权。

最后通过主函数测试上述所有函数。

三、代码展示

1、邻接矩阵实现：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef int Status;
#define OK 1
#define ERROR -1
#define MaxInt 32767            //初始化边权无穷大
#define MVNum 100
#define VerTexType char
#define ArcType inttypedef struct AMGraph{      //定义邻接矩阵VerTexType vexs[MVNum];     //创建顶点集ArcType arcs[MVNum][MVNum];  //创建邻接矩阵int vexnum,arcnum;              //存放当前图的总顶点数和边数
};int VexLocate(AMGraph &G,VerTexType u){   //返回顶点在顶点集的位置for(int i=0;i<G.vexnum;i++){     //循环遍历顶点集if(u==G.vexs[i]) return i;       //找到顶点返回其数组下标}return -1;
}Status UDNCreate(AMGraph &G){      //无向邻接矩阵创建并存储数据cout<<"请输入无向图总顶点数和总边数：";cin>>G.vexnum>>G.arcnum;          //输入图的顶点数和边数cout<<"请输入顶点信息：";for(int i=0;i<G.vexnum;i++){cin>>G.vexs[i];}for(int i=0;i<G.vexnum;i++){          //初始化邻接矩阵边权为无穷 for(int j=0;j<G.vexnum;j++){G.arcs[i][j]=MaxInt;}}VerTexType v1,v2;                       //结点信息ArcType w;                                //边权重cout<<"请输入边的两顶点及所构边的权重："<<endl; for(int i=0;i<G.arcnum;i++){        //利用二维数组寻址相对两点赋权cin>>v1>>v2>>w;                   //依次输入两个顶点以及所构边的权重G.arcs[VexLocate(G,v1)][VexLocate(G,v2)]=w;G.arcs[VexLocate(G,v2)][VexLocate(G,v1)]=w;}return OK;
}Status VexInsert(AMGraph &G,VerTexType v){ //插入顶点G.vexs[G.vexnum]=v;     //由于数组下标比数量少1，可用旧顶点数做下标//增加新顶点 G.vexnum++;                //顶点数加1 for(int i=0;i<G.vexnum;i++){  //构建新顶点与其他顶点关联，初始化边权//为无穷 G.arcs[G.vexnum-1][i]=MaxInt;G.arcs[i][G.vexnum-1]=MaxInt;}
}Status VexDelete(AMGraph &G,VerTexType v){ //顶点删除int p=VexLocate(G,v);                    //存放待删顶点下标位置for(int i=0;i<G.vexnum;i++){          //删除待删顶点所在列数据for(int j=p+1;j<G.vexnum;j++){G.arcs[i][j-1]=G.arcs[i][j];}}for(int i=0;i<G.vexnum;i++){         //删除待删顶点所在行数据for(int j=p+1;j<G.vexnum;j++){G.arcs[j-1][i]=G.arcs[j][i];}}for(int i=p+1;i<G.vexnum;i++){      //删除在顶点集中的待删顶点G.vexs[i-1]=G.vexs[i];}G.vexnum--;                           //顶点数自减return OK;
}Status ArcInsert(AMGraph &G,VerTexType v1,VerTexType v2,ArcType w)
{                                               //插入边int p1=VexLocate(G,v1),p2=VexLocate(G,v2);   //存放两个关联点位置G.arcs[p1][p2]=w;                       //将关联点在矩阵两处边权赋值G.arcs[p2][p1]=w;return OK;
}Status ArcDelete(AMGraph &G,VerTexType v1,VerTexType v2){//删除边int p1=VexLocate(G,v1),p2=VexLocate(G,v2); //存放两个关联点位置G.arcs[p1][p2]=MaxInt;            //将关联点在矩阵两处边权赋为无穷G.arcs[p2][p1]=MaxInt;return OK;
}Status AMGraphPrint(AMGraph &G){   //打印无向邻接矩阵cout<<"邻接矩阵展示："<<endl;for(int i=0;i<G.vexnum;i++){cout<<G.vexs[i]<<":";        //输出矩阵行名for(int j=0;j<G.vexnum;j++){      //循环输出各点与其他点的边权，0为无边if(G.arcs[i][j]!=MaxInt) cout<<G.arcs[i][j]<<"\t";else cout<<"0"<<"\t";}cout<<endl;}return OK;
}int main(){AMGraph G;                  //创建无向邻接矩阵UDNCreate(G);             //无向邻接矩阵初始化并存储数据AMGraphPrint(G);            //打印无向邻接矩阵VerTexType v1,v2;ArcType w;cout<<"请输入要插入的顶点：";cin>>v1;VexInsert(G,v1);           //插入顶点AMGraphPrint(G);          //打印无向邻接矩阵cout<<"请输入要删除的顶点：";cin>>v2;VexDelete(G,v2);          //删除顶点AMGraphPrint(G);          //打印无向邻接矩阵cout<<"请输入增加边的两个顶点及边权重：";cin>>v1>>v2>>w;ArcInsert(G,v1,v2,w);        //插入边AMGraphPrint(G);           //打印无向邻接矩阵cout<<"请输入删除边的两个顶点：";cin>>v1>>v2;ArcDelete(G,v1,v2);       //删除边AMGraphPrint(G);           //打印无向邻接矩阵return 0;
}

2、邻接表实现：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef int Status;
#define OK 1
#define ERROR -1
#define VerTexType char
#define ArcType int
#define MVNum 50 typedef struct ArcNode{    //边结点 int adjvex;               //该边所指向的顶点位置struct ArcNode* nextarc;  //指向下一条边指针int weight;                 //边的权重
};typedef struct VNode{     //顶点信息 VerTexType data;         //顶点数据 ArcNode *firstarc;           //指向第一条与该点相连的边的指针
}VNode,AdjList[MVNum];      //邻接表 typedef struct{           //定义图 AdjList vertices;         //顶点表 int vexnum,arcnum;        //图当前顶点数与边数
}ALGraph;int VexLocate(ALGraph &G,VerTexType v){  //顶点定位，找出其在邻接表//中数组下标的位置 for(int i=0;i<G.vexnum;i++){if(v==G.vertices[i].data) return i;  //根据顶点数据查找，返回表中数//组下标值 }return -1;
}Status ALGraphprint(ALGraph &G){    //邻接表打印函数 cout<<"操作后新的连接表如下："<<endl;for(int i=0;i<G.vexnum;i++){    //依次输出每个顶点与相连顶点的情况//以及边权 cout<<G.vertices[i].data<<":";        //输出当前顶点数据 ArcNode* p=G.vertices[i].firstarc;  //指向与当前顶点相连的第一个顶//点的边的指针 while(p!=NULL){              //依次遍历所有与该顶点相连的点的边     cout<<G.vertices[p->adjvex].data<<"("<<p->weight<<")"<<"\t"; //输出与该顶点相连的所有点以及边的权重p=p->nextarc;}cout<<endl;}return OK;
}Status Delete(ALGraph &G,int pos1,int pos2){ //删除邻接表中，指定两//顶点的边 ArcNode* p=G.vertices[pos1].firstarc;  //指向pos1所表示顶点的与其//第一个相连顶点的边的指针if(p&&p->adjvex==pos2){      //由于firstarc指针固定，不能单纯删除p//的结点，因此表头结点需要单独考虑 G.vertices[pos1].firstarc=p->nextarc; //如果表头结点存放连接信息为//要删结点位置信息pos2，直接删除delete p;}else{while(p!=NULL){             //否则从p开始循环遍历表中所有连接点if(p->nextarc!=NULL&&p->nextarc->adjvex==pos2){  //如果找到要删//结点pos2，进行链表删除操作ArcNode* temp=p->nextarc;p->nextarc=p->nextarc->nextarc;delete temp;break;}p=p->nextarc;                  //没有找到，p指针后移 }}return OK;
}Status UDGCreate(ALGraph &G){      //邻接表创建并存储数据cout<<"请输入图的总顶点数和总边数：";cin>>G.vexnum>>G.arcnum;cout<<"请输入顶点信息：";for(int i=0;i<G.vexnum;i++){    //初始化表头结点指针域为NULL cin>>G.vertices[i].data;           //输入顶点数据 G.vertices[i].firstarc=NULL;}VerTexType v1,v2;ArcType w;int pos1,pos2;cout<<"请输入边的两顶点及所构边的权重："<<endl;for(int i=0;i<G.arcnum;i++){    //输出边的信息 cin>>v1>>v2>>w;pos1=VexLocate(G,v1);          //获取顶点v1位置 pos2=VexLocate(G,v2);           //获取顶点v2位置 ArcNode* p1=new ArcNode;        //创建边结点 p1->adjvex=pos2;                //v1开始的边所连另一端为v2位置p1->weight=w;p1->nextarc=G.vertices[pos1].firstarc;  G.vertices[pos1].firstarc=p1;    //将边加入v1的边表头部ArcNode* p2=new ArcNode;       //创建边结点p2->adjvex=pos1;                 //v2开始的边所连另一端为v1p2->weight=w;p2->nextarc=G.vertices[pos2].firstarc;G.vertices[pos2].firstarc=p2;    //将边加入v2的边表头部 }return OK;
}Status VexInsert(ALGraph &G,VerTexType v){  //实现顶点的插入 G.vertices[G.vexnum].data=v;    //由于数组下标从0开始，则新增顶点存//放位置为G.vexnum G.vertices[G.vexnum].firstarc=NULL; //避免野指针情况，指针域为NULL G.vexnum++;                      //顶点数自增
}Status VexDelete(ALGraph &G,VerTexType v){  //顶点删除 int pos=VexLocate(G,v);        //查找待删除顶点 for(int i=0;i<G.vexnum;i++){ //删除其他顶点连接表中的待删除顶点信息Delete(G,i,pos);//下半部份代码优化为Delete()函数
//  ArcNode* p=G.vertices[i].firstarc;
//  if(p&&p->adjvex==pos){
//   G.vertices[i].firstarc=p->nextarc;
//   delete p;
//  }
//  else{
//   while(p!=NULL){
//    if(p->nextarc!=NULL&&p->nextarc->adjvex==pos){
//     ArcNode* temp=p->nextarc;
//     p->nextarc=p->nextarc->nextarc;
//     delete temp;
//     break;
//    }
//    p=p->nextarc;
//   }
//  }}//下述操作：1、先删除待删顶点中所有连接表中其他顶点信息 2、用最后一个顶
//点替代删除结点位置(目的在于避免顶点表中出现废弃点占位情况)ArcNode* p=G.vertices[pos].firstarc;  //p指向待删顶点的第一个连接//点的边的指针 G.vertices[pos].firstarc=NULL;     //野指针问题，删除记得赋值为NULL，//否则运行无结果 while(p!=NULL){        //循环删除该点连接表下所有顶点信息 ArcNode* temp=p;p=p->nextarc;delete temp;}G.vertices[pos]=G.vertices[G.vexnum-1];  //将最后一个顶点替代删除//顶点的位置 G.vexnum--;                                  //顶点数自减 return OK;
}Status ArcInsert(ALGraph &G,VerTexType v1,VerTexType v2,int w){  //插入边 int pos1,pos2;pos1=VexLocate(G,v1);pos2=VexLocate(G,v2);ArcNode* p1=new ArcNode;     //创建边结点 p1->adjvex=pos2;            //v1开始的边所连另一端为v2位置 p1->weight=w;p1->nextarc=G.vertices[pos1].firstarc;  G.vertices[pos1].firstarc=p1;//将边加入v1的边表头部ArcNode* p2=new ArcNode;     //创建边结点p2->adjvex=pos1;            //v2开始的边所连另一端为v1p2->weight=w;p2->nextarc=G.vertices[pos2].firstarc;G.vertices[pos2].firstarc=p2;    //将边加入v2的边表头部G.arcnum++;                     //边数自增 return OK;
}Status ArcDelete(ALGraph &G,VerTexType v1,VerTexType v2){ //删除边int pos1,pos2;pos1=VexLocate(G,v1);      //存放删除边的第一个顶点位置 pos2=VexLocate(G,v2);      //存放删除边的第二个顶点位置 ArcNode* p1=G.vertices[pos1].firstarc;  //指向第一个顶点的连接表中//与该顶点相连的边的指针 ArcNode* p2=G.vertices[pos2].firstarc;  //指向第二个顶点的连接表中//与该顶点相连的边的指针Delete(G,pos1,pos2);      //在第一个顶点连接表中删除第二顶点的信息 Delete(G,pos2,pos1);      //在第二个顶点连接表中删除第一顶点的信息//下半部份代码用Delete()函数进行优化替代
// if(p1&&p1->adjvex==pos2){
//  G.vertices[pos1].firstarc=p1->nextarc;
//  delete p1;
// }
// else{
//  while(p1!=NULL){
//   if(p1->nextarc!=NULL&&p1->nextarc->adjvex==pos2){
//    ArcNode* temp=p1->nextarc;
//    p1->nextarc=p1->nextarc->nextarc;
//    delete temp;
//    break;
//   }
//   p1=p1->nextarc;
//  }
// }
// if(p2&&p2->adjvex==pos1){
//  G.vertices[pos2].firstarc=p2->nextarc;
//  delete p2;
// }
// else{
//  while(p2!=NULL){
//   if(p2->nextarc!=NULL&&p2->nextarc->adjvex==pos1){
//    ArcNode* temp=p2->nextarc;
//    p2->nextarc=p2->nextarc->nextarc;
//    delete temp;
//    break;
//   }
//   p2=p2->nextarc;
//  }
// }G.arcnum--;             //边数自减return OK;
}int main(){ALGraph G;UDGCreate(G);             //构建图 ALGraphprint(G);         //打印图 VerTexType v1,v2;int w;cout<<"请输入要插入的顶点：";cin>>v1;VexInsert(G,v1);        //插入顶点 ALGraphprint(G);cout<<"请输入要删除的顶点：";cin>>v1;VexDelete(G,v1);        //删除顶点 ALGraphprint(G);cout<<"请输入要插入边的两顶点及边权重：";cin>>v1>>v2>>w;ArcInsert(G,v1,v2,w);   //插入边 ALGraphprint(G);cout<<"请输入要删除边的两顶点：";cin>>v1>>v2;ArcDelete(G,v1,v2);     //删除边 ALGraphprint(G);return 0;
}

四、结果展示

1、邻接矩阵结果：

2、邻接表结果：

五、算法时间复杂度

1、邻接矩阵实现图的基本操作，函数包括：邻接矩阵创建并存储数据、顶点寻址、增加顶点、删除顶点、增加边、删除边、邻接矩阵打印。其中操作建立于二维数组，与数据规模有关，设总顶点数与总边数数据规模为n，则总体算法时间复杂度为O(n2)。

2、邻接表实现图的基本操作，主要通过数组+链表方式进行数据处理。函数包括：邻接表创建并存储数据、顶点寻址、增加顶点、删除顶点、增加边、删除边、邻接表打印。其中操作主要建立于链表上，与数据规模有关，设总顶点数与总边数数据规模为n，则总体算法时间复杂为O(n)。

PS：第一次写博客，有问题欢迎交流。