1. 互质阵基本概念

1.1 互质阵的定义

1.2 互质阵的性质

2 扩展互质阵信号模型

3 扩展互质阵DOA估计

3.1 原始数据直接处理——Direct-MUSIC

3.2 相关域数据处理——向量化协方差矩阵+虚拟差合阵元过程

参考文献

1. 互质阵基本概念

1.1 互质阵的定义

互质阵概念是由青年科学家Piya Pal于2010年提出的[R1]-[R3]，其相比嵌套阵可以克服互耦效应对DOA估计精度的影响。如图1( $a_{1}$ )所示，标准互质阵由一对具有互质性的M和N元子阵构成，其中M元子阵的阵元间距为Nd，N元子阵的阵元间距为Md，d=λ/2。两子阵共线放置，除了位置0处的阵元重叠，其余阵元均不重叠。图1( $b_{1}$ )是在图1()的基础上扩展得到的，称为扩展互质阵。扩展互质阵是由标准互质阵中某一子阵的阵元数目倍增后得到，通常选择阵元数目少的子阵进行阵列结构扩展。

标准互质阵物理阵元所在位置集合及其差合阵列位置集合 $S_{a}$ 为：

(1)

扩展互质阵物理阵元所在位置集合及其差合阵列位置集合 $D_{a}$ 为：

(2)

(a2) (4,3)子阵元对的标准互质阵 (b2) (4,6)子阵元对的扩展互质阵

相比标准互质阵列，扩展互质阵列下的差合阵列能获得更多的连续阵元。须注意互质阵列所对应的差合阵列是存在孔洞(holes)的非均匀线阵(non-uniform linear array with holes)，而二级嵌套阵所对应的差合阵列是均匀线阵(the filled ULA)。

下面我们将分析标准和扩展互质阵具有的优良性质。

1.2 互质阵的性质

(1) 的自由度(Degree of Freedom, DOF)高于MN;

Proof: k1和k2的组合方式一共有MN种，即证无重复元素。假设存在,那么，,所以假设不存在，无重复元素。

(2)

Proof: 由扩展欧几里得算法可知：已知整数a和b，可以求得a和b的最大公约数(Greatest Common Division, gcd)的同时，找到整数x和y使得ax+by=gcd(a,b)，其中有一个可能是是负数。因此。

(3) 扩展互质阵对应的差合阵列可形成的filled ULA with hole-free范围:

Proof: (2) 倘若，必然存在，使得。因此通过对p的合理选择，存在，其中。又因，，由此可推导出。

(4) 不管是标准还是扩展互质阵，其差合阵列有冗余阵元(redundancy)和孔洞(hole);

(5) 相同物理阵元下，嵌套阵比互质阵的DOF多;

Proof: 中当k1=0或者k2=0既是cross-difference情况，也是self-difference情况，即coprime中self-difference全部包含于中cross-difference。而在嵌套阵中，cross-difference为或，当m=n=1时会同时出现在self-difference和cross-difference中，其余的self-difference不会全部出现在cross-difference里。因此嵌套阵比互质阵的DOF多。

(6) 相同物理阵元下，差合阵列比和合阵列的DOF多;

Proof: 对比和合阵列(共址MIMO)和差合阵列(被动接收)，显然差合阵列比和合阵列的DOF多。

2 扩展互质阵信号模型

(3)

3 扩展互质阵DOA估计

协方差矩阵Rx表示为:

(4)

3.1 原始数据直接处理——Direct-MUSIC

值得注意的是直接对稀疏阵下的协方差矩阵Rx进行DOA估计，则测向结果会存在模糊现象。然而，文献[R4, R5]已证明，互质阵之特殊阵列结构可有效消除上述直接数据域中的DOA估计模糊效应，嵌套阵信号处理中无类似结论。

3.2 相关域数据处理——向量化协方差矩阵+虚拟差合阵元过程

此时若2M+N-1<K，A为fat matrix，此时的信号模型是欠定的。向量化可得：

(5)

参考文献

[R1] P. P. Vaidyanathan and P. Pal, "Sparse sensing with coprime arrays," 2010 Conference Record of the Forty Fourth Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers, 2010, pp. 1405-1409.

[R2] P. Pal and P. P. Vaidyanathan, "Coprime sampling and the music algorithm," 2011 Digital Signal Processing and Signal Processing Education Meeting (DSP/SPE), 2011, pp. 289-294.

[R3] P. P. Vaidyanathan and P. Pal, "Sparse Sensing With Co-Prime Samplers and Arrays," in IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 59, no. 2, pp. 573-586, Feb. 2011.

[R4] P. P. Vaidyanathan and P. Pal, "Direct-MUSIC on sparse arrays," 2012 International Conference on Signal Processing and Communications (SPCOM), 2012, pp. 1-5.

[R5] P. P. Vaidyanathan and P. Pal, "Why does direct-MUSIC on sparse-arrays work?," 2013 Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers, 2013, pp. 2007-2011.

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基于互质阵的DOA估计

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