ker矩阵是什么意思

前言

在看完《新概念物理教程光学》以及《现代光学基础》后，大家都应该对几何光学、物理光学以及偏振光学有了比较清晰的认识。然而，传统的几何光学基本上就是套成像公式暴算或者特殊光线作图用几何方法硬算，主点主面等效也很繁琐，在一堆透镜成像时只有一个字：卒。我将要介绍一种在一般竞赛辅导中较少提及的强有力的工具：矩阵光学。本文将要一次介绍一下内容：几何光学中的矩阵方法、失调光学系统的矩阵、光学列阵的矩阵光学处理方法。

本文以我阅读卢亚雄、吕百达著《矩阵光学》所做的笔记为基础，部分内容会直接摘成书中内容。

原谅我图画的难看qwq，真的不知道有什么好的作图软件，我试着用尽量少的图把矩阵光学讲清楚。

必要准备

先介绍我们接下来表示一条光线的方法：

如图，对于一点的光线我们用光线在该点的高度

及其与光轴方向的夹角

描述.对于

我们规定光线在光轴上方为正，在光轴下方为负；对于

我们规定其顺时针为正，逆时针为负。那么现在我们便可以用

来描述一条光线，这便是矩阵光学的根基。

接着我们规定：对球面而言，球心于物方时曲率半径为负，于像方时为正；文中的

分别指分界面左、右方的折射率；遇到球面折射时

、

分别指球面“包围部分”以及“不包围部分”的折射率

一. 几何光学中的矩阵方法

1.光学元件的变换矩阵

我们先回顾一下透镜傍轴成像的特殊光线作图：

我们设透镜焦距为

，入射光线射入透镜时高度为

,角度为

,出射光线于透镜上高度为

处以角度

出射。显然有

。又由几何关系易知出射光线交焦平面于高

处，那么易得出射光线的

。我们发现出射光线的参数都于入射光线的参数成简单的线性关系，于是我们尝试用矩阵表示出这种变换：

。我们发现我们现在获得了一个两行两列的方阵，且它的各个元素都与入射出射光线的性质无关，只取决于透镜的性质。事实上这个矩阵便是薄透镜的变换矩阵。我们仿照上述推导，可以导出众多光学元件傍轴下的变换矩阵，现直接给出：

长为

的均匀介质：
折射率突变的分界面：
焦距为
的薄透镜：
平面反射镜：
折射率突变的半径为
的球面：

（注意此时

我们一律取绝对值）
半径为
的球面镜：

（此时

要区分正负）

各种常见的光学器件（除光楔）均可由上述矩阵组合形成，比如一个材料折射率为

的厚透镜的变换矩阵便为：

2.光学元件变换矩阵的应用

对于一个光学元件我们将其变换矩阵概括为

。现假设一束光线依次经过元件

、元件

......元件

，那么元件将依次对光线进行变换，则由矩阵的乘法即可发现元件应反序左乘初始的光线参数矩阵：

。我们不妨记

，则矩阵

描述了整个光学系统对光线的变换效应，即

.现在我们发现，当

时，出射光线的高度只与

有关，说明此时发生了成像并且

便是系统的横向放大率；当

时出射光线的角度仅与

有关，说明系统是一个望远系统并且

便是系统的角放大率。并且我们不加证明地指出对于变换矩阵有

。

我们有一变换矩阵为

的成像系统，在距离系统左端为

处放有一物体，求像距离系统右端的距离

整体的变换矩阵为

,成像处则有

，解得

。利用薄透镜矩阵

验证得

,与成像公式的结果一致。

利用矩阵推导望远镜的角放大率公式

变换矩阵为

,此时满足

,则

便为角放大率

透镜波导问题的矩阵解法

虽然透镜波导问题在一般竞赛题中很罕见，但是个人感觉这东西算起来挺有意思的，而且利用矩阵可以得到较为普适的结果。

问题描述：现有无穷个变换矩阵为

的光学元件沿光轴放置，有一束光线以

入射，问何时光线能被约束在这一波导体系中不向外逸出。

我们不妨设中间态光线入射第

个元件时为

,其经过元件变换并入射第

时参数为

,则有：

。为研究光线是否逸出我们只需关心

的变化，联立消去

得：

接着便是设

,代入递推式得

。若光线可被约束在波导内，则

应当与正余弦函数有关，这便要求二次方程

,即

;若

，则是否约束将取决于初始条件；若

,则

成指数发散，将不会被约束在内。有了以上结论，对于具体的透镜波导问题我们只需要将变换元件的矩阵写出分析

即可。

二. 失调光学系统的矩阵

ps:其实这个并没有太大的用处，主要是为后面好玩的光学列阵做铺垫( ´▽｀)

我们现在来看看当光学系统微小失调（即元件“偏了一点点”）时怎么用矩阵处理。首先我们如下图定义出我们描述失调量的参数

和

：

和

的存在使得相对于

光轴参数为

相对失调光轴

的参数变为

,由几何关系易得

,沿

方向进行正常的变换后得

，再变回

轴方向：

,最后解得：

,写成矩阵：

，其中

。实际上我们遇到的简单薄透镜、反射镜中

常常为零。再提炼一下，我们把变换用一个

的增广矩阵描述：

。

三. 光学列阵

以往我们的几何光学都是研究各元件“串联”时的情形，那么我们现在就来看看各元件“并联”并且傍轴的情形。

如图，我们做如下符号规定：

为傍轴近似下列阵前端面的曲率半径，

是列阵的单元成像像距，

是列阵的综合成像像距；其余各符号的含义均与上文相符。

我们将列阵在傍轴近似下视为各元件的规律性失调，那么我们假设参量为

的光线被列阵上第

个元件作用，则该元件相对于光轴的失调参数便为

,此元件的成像特性矩阵便为：

总变换便为：

将

、

代入，我们发现对元件光线的变换与

无关，并且与

、

呈线性关系。于是我们考虑将变换用

矩阵描述：

此后我们的处理方法和普通几何光学完全相同：

令

我们便解得列阵综合成像的像距：

,折射型列阵取

，反射型列阵取

我们也可以同理导出角放大率、垂直放大率、轴放大率等等一系列物理量，此处从略。