【XSY3904】直线（分块）

题面

直线

题解

注意到题目没有给什么特殊的性质，除了直线随机生成。

所以考虑随机化算法或均摊算法。

有一种很神奇的分块做法：

考虑将整个平面分成 B×BB\times BB×B 块，每块大小 109B×109B\dfrac{10^9}{B}\times\dfrac{10^9}{B}B109×B109，而且每一个块记录一下有哪些直线经过它，询问的时候直接枚举经过询问点所在块内的所有直线并判断统计。

分析一下时间复杂度：

首先是预处理，对于每一条直线，它经过的块数大约为 BBB，所以这部分的时间复杂度是 O(nB)O(nB)O(nB)。

其次是询问时枚举当前块内的所有直线。刚刚我们得出了所有直线经过的块数为 O(nB)O(nB)O(nB) 级别的，那么每一块均摊下来经过直线条数约是：nBB2=nB\dfrac{nB}{B^2}=\dfrac{n}{B}B2nB=Bn，所以这部分的时间复杂度是 O(qnB)O(q\dfrac{n}{B})O(qBn)。

总时间复杂度 O(nB+qnB)O(nB+q\dfrac{n}{B})O(nB+qBn)，取 B=nB=\sqrt{n}B=n 即可。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>#define SN 350
#define N 100010
#define eps 1e-6using namespace std;inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');ch=getchar();}return x*f;
}int n,q,x[N][2],y[N][2];
int block,len;vector<int>v[SN][SN];bool compare(double a,double b)
{if(fabs(a-b)<eps) return 0;return (a<b?-1:1);
}int get(double x)
{if(!compare(x,(int)x))return ((int)x-1)/len+1;return ((int)ceil(x)-1)/len+1;
}int main()
{n=read(),q=read();block=sqrt(n);len=1e9/block;while(block*len<1e9) len++;int check=1;get(check);for(int i=1;i<=n;i++){x[i][0]=read(),y[i][0]=read(),x[i][1]=read(),y[i][1]=read();if(x[i][0]==x[i][1]){int b=get(x[i][0]);for(int j=1;j<=block;j++)v[b][j].push_back(i);}else if(y[i][0]==y[i][1]){int b=get(y[i][0]);for(int j=1;j<=block;j++)v[j][b].push_back(i);}else{double k=1.0*(y[i][1]-y[i][0])/(x[i][1]-x[i][0]);double b=1.0*y[i][0]-k*x[i][0];double l=min(1e9,max(1.0,(1e9-b)/k)),r=max(1.0,min(1e9,(1-b)/k));if(l>r) swap(l,r);int xlb=get(l),xrb=get(r);for(int j=xlb;j<=xrb;j++){double xl=max(l,1.0*(j-1)*len+1),xr=min(r,1.0*j*len);double yl=k*xl+b,yr=k*xr+b;if(yl>yr) swap(yl,yr);int ylb=get(yl),yrb=get(yr);for(int k=ylb;k<=yrb;k++)v[j][k].push_back(i);}}}while(q--){int xx=read(),yy=read();int xb=get(xx),yb=get(yy),ans=0;for(int i=0,size=v[xb][yb].size();i<size;i++){int k=v[xb][yb][i];ans+=(1ll*(y[k][1]-y[k][0])*(xx-x[k][1])==1ll*(yy-y[k][1])*(x[k][1]-x[k][0]));}printf("%d\n",ans);}return 0;
}

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