一、蝶形算法的作用

使用蝶形算法的主要目的就是减少计算量

1.1 直接计算离散傅里叶变换（DFT）的运算量

设复序列X(n)X(n)X(n)长度为NNN点，其DFT为X(k)=∑n=0N−1x(n)WNnkX(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}X(k)=∑n=0N−1x(n)WNnk，其中k=0,1,...,N−1k=0,1,...,N-1k=0,1,...,N−1
所以我们可以算出：
计算一个X(k)X(k)X(k)需要进行乘法NNN次、加法N−1N-1N−1次
计算整个复序列X(N)X(N)X(N)需要进行乘法N2N^2N2次、加法N(N−1)N(N-1)N(N−1)次
当NNN很大时，其运算量也很大

1.2 使用蝶形算法的运算量

（为了对比明显，此处直接给出分解一次所需的运算量，具体过程见原理）
分解一次后的运算量=222个N/2N/2N/2的DFT+N/2N/2N/2个蝶形
乘法次数2∗(N/2)2+N/2=N2/2+N/22*(N/2)^2+N/2=N^2/2+N/22∗(N/2)2+N/2=N2/2+N/2
加法次数2∗N/2∗(N/2−1)+N=N2/22*N/2*(N/2-1)+N=N^2/22∗N/2∗(N/2−1)+N=N2/2
经过一次分解后，运算量减少了近一半

二、蝶形算法的原理

2.1 旋转因子WNnk的性质W_N^{nk}的性质WNnk的性质

对称性：(WNnk)∗=WN−nk=WNk(N−n)(W_N^{nk})^*=W_N^{-nk}=W_N^{k(N-n)}(WNnk)∗=WN−nk=WNk(N−n)
周期性：WN(n+N)k=WNn(k+N)=WNnkW_N^{(n+N)k}=W_N^{n(k+N)}=W_N^{nk}WN(n+N)k=WNn(k+N)=WNnk
可约性：WmNmnk=WNnkW_{mN}^{mnk}=W_N^{nk}WmNmnk=WNnk WNnk=WN/mnk/mW_N^{nk}=W_{N/m}^{nk/m}WNnk=WN/mnk/m
其他：WNN/2=−1W_N^{N/2}=-1WNN/2=−1 WNk+N/2=−WNkW_N^{k+N/2}=-W_N^kWNk+N/2=−WNk

2.2 按时间抽取基2-FFT（N=2LN=2^LN=2L）

将序列x(n)x(n)x(n)按奇偶性分成两组
{x(2r)=x1(r)r=0,1,...,N/2-1x(2r+1)=x2(r)\begin{cases} x(2r)=x_1(r)&\text{r=0,1,...,N/2-1} \\ x(2r+1)=x_2(r) \end{cases}{x(2r)=x1(r)x(2r+1)=x2(r)r=0,1,...,N/2-1
X(k)=∑n=0N−1x(n)WNnkX(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}X(k)=∑n=0N−1x(n)WNnk
=∑n=0,n偶数N−1x(n)WNnk+∑n=0,n奇数N−1x(n)WNnk=\sum_{n=0,n偶数}^{N-1}x(n)W_N^{nk}+\sum_{n=0,n奇数}^{N-1}x(n)W_N^{nk}=∑n=0,n偶数N−1x(n)WNnk+∑n=0,n奇数N−1x(n)WNnk
=∑r=0N/2−1x(2r)WN2rk+∑r=0N/2−1x(2r+1)WN(2r+1)k=\sum_{r=0}^{N/2-1}x(2r)W_N^{2rk}+\sum_{r=0}^{N/2-1}x(2r+1)W_N^{(2r+1)k}=∑r=0N/2−1x(2r)WN2rk+∑r=0N/2−1x(2r+1)WN(2r+1)k
=∑r=0N/2−1x1(r)WN/2rk+∑r=0N/2−1x2(r)WNkWN/2rk=\sum_{r=0}^{N/2-1}x_1(r)W_{N/2}^{rk}+\sum_{r=0}^{N/2-1}x_2(r)W_N^kW_{N/2}^{rk}=∑r=0N/2−1x1(r)WN/2rk+∑r=0N/2−1x2(r)WNkWN/2rk
=X1(k)+WNkX2(k)=X_1(k)+W_N^kX_2(k)=X1(k)+WNkX2(k)
X1(k)X_1(k)X1(k)和X2(k)X_2(k)X2(k)分别是x1(n)x_1(n)x1(n)和x2(n)x_2(n)x2(n)的N/2N/2N/2的DFT，即k=0,1,...,N/2−1k=0,1,...,N/2-1k=0,1,...,N/2−1
所以我们要求X(k)X(k)X(k)的值，还要求后半段的DFT，即k=N/2,N/2+1,...,N−1k=N/2,N/2+1,...,N-1k=N/2,N/2+1,...,N−1
利用周期性WN/2r(N/2+k)=WN/2rkW_{N/2}^{r(N/2+k)}=W_{N/2}^{rk}WN/2r(N/2+k)=WN/2rk可知
X1(N/2+k)=∑r=0N/2−1x1(r)WN/2r(N/2+k)=∑r=0N/2−1x1(r)WN/2rk=X1(k)X_1(N/2+k)=\sum_{r=0}^{N/2-1}x_1(r)W_{N/2}^{r(N/2+k)}=\sum_{r=0}^{N/2-1}x_1(r)W_{N/2}^{rk}=X_1(k)X1(N/2+k)=∑r=0N/2−1x1(r)WN/2r(N/2+k)=∑r=0N/2−1x1(r)WN/2rk=X1(k)
同理可得X2(N/2+k)=X2(k)X_2(N/2+k)=X_2(k)X2(N/2+k)=X2(k)
又因为WNk+N/2=−WNkW_N^{k+N/2}=-W_N^kWNk+N/2=−WNk，所以有
当k=0,1,...,N/2−1k=0,1,...,N/2-1k=0,1,...,N/2−1时
X(k+N/2)=X1(k+N/2)+WNk+N/2X2(k+N/2)X(k+N/2)=X_1(k+N/2)+W_N^{k+N/2}X_2(k+N/2)X(k+N/2)=X1(k+N/2)+WNk+N/2X2(k+N/2)
=X1(k)−WNkX2(k)=X_1(k)-W_N^kX_2(k)=X1(k)−WNkX2(k)
综上所述，我们可以得出蝶形运算：
{X(k)=X1(k)+WNkX2(k)k=0,1,...,N/2-1X(k)=X1(k)−WNkX2(k)k=N/2,N/2+1,...,N-1\begin{cases} X(k)=X_1(k)+W_N^kX_2(k)& \text{k=0,1,...,N/2-1} \\ X(k)=X_1(k)-W_N^kX_2(k)& \text{k=N/2,N/2+1,...,N-1} \end{cases}{X(k)=X1(k)+WNkX2(k)X(k)=X1(k)−WNkX2(k)k=0,1,...,N/2-1k=N/2,N/2+1,...,N-1

2.3 按频率抽取基2-FFT（N=2LN=2^LN=2L）

将序列x(n)x(n)x(n)按顺序分成前后两半
{前半子序列x(n)n=0,1,...,N/2-1后半子序列x(n)n=N/2,N/2+1,...,N-1\begin{cases} 前半子序列x(n)& \text{n=0,1,...,N/2-1} \\ 后半子序列x(n)& \text{n=N/2,N/2+1,...,N-1} \end{cases}{前半子序列x(n)后半子序列x(n)n=0,1,...,N/2-1n=N/2,N/2+1,...,N-1
X(k)=∑n=0N−1x(n)WNnkX(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}X(k)=∑n=0N−1x(n)WNnk
=∑n=0N/2−1x(n)WNnk+∑n=N/2N−1x(n)WNnk=\sum_{n=0}^{N/2-1}x(n)W_N^{nk}+\sum_{n=N/2}^{N-1}x(n)W_N^{nk}=∑n=0N/2−1x(n)WNnk+∑n=N/2N−1x(n)WNnk
=∑n=0N/2−1x(n)WNnk+∑n=0N/2−1x(n+N/2)WNk(n+N/2)=\sum_{n=0}^{N/2-1}x(n)W_N^{nk}+\sum_{n=0}^{N/2-1}x(n+N/2)W_N^{k(n+N/2)}=∑n=0N/2−1x(n)WNnk+∑n=0N/2−1x(n+N/2)WNk(n+N/2)
=∑n=0N/2−1[x(n)+x(n+N/2)WNNk/2]WNnk=\sum_{n=0}^{N/2-1}\begin{bmatrix}x(n)+x(n+N/2)W_N^{Nk/2}\end{bmatrix}W_N^{nk}=∑n=0N/2−1[x(n)+x(n+N/2)WNNk/2]WNnk
其中k=0,1,...,N−1k=0,1,...,N-1k=0,1,...,N−1
因为WNN/2=−1W_N^{N/2}=-1WNN/2=−1，所以WNNK/2=(−1)kW_N^{NK/2}=(-1)^kWNNK/2=(−1)k，可得：
X(k)=∑n=0N/2−1[x(n)+(−1)kx(n+N/2)]WNnkX(k)=\sum_{n=0}^{N/2-1}\begin{bmatrix}x(n)+(-1)^kx(n+N/2)\end{bmatrix}W_N^{nk}X(k)=∑n=0N/2−1[x(n)+(−1)kx(n+N/2)]WNnk
然后再按照奇偶性进行划分
{k=2rr=0,1,...,N/2-1k=2r+1\begin{cases}k=2r& \text{r=0,1,...,N/2-1}\\k=2r+1\end{cases}{k=2rk=2r+1r=0,1,...,N/2-1
则式X(k)=∑n=0N/2−1[x(n)+(−1)kx(n+N/2)]WNnkX(k)=\sum_{n=0}^{N/2-1}\begin{bmatrix}x(n)+(-1)^kx(n+N/2)\end{bmatrix}W_N^{nk}X(k)=∑n=0N/2−1[x(n)+(−1)kx(n+N/2)]WNnk可转化为
{X(2r)=∑n=0N/2−1[x(n)+x(n+N/2)]WN/2nrX(2r+1)=∑n=0N/2−1[x(n)−x(n+N/2)]WNn(2r+1)=∑n=0N/2−1{[x(n)−x(n+N/2)]WNn}WN/2nr\begin{cases} X(2r)=\sum_{n=0}^{N/2-1}\begin{bmatrix}x(n)+x(n+N/2)\end{bmatrix}W_{N/2}^{nr}\\X(2r+1)=\sum_{n=0}^{N/2-1}\begin{bmatrix}x(n)-x(n+N/2)\end{bmatrix}W_{N}^{n(2r+1)}=\sum_{n=0}^{N/2-1}\begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}x(n)-x(n+N/2)\end{bmatrix}W_N^n\end{Bmatrix}W_{N/2}^{nr}\end{cases}{X(2r)=∑n=0N/2−1[x(n)+x(n+N/2)]WN/2nrX(2r+1)=∑n=0N/2−1[x(n)−x(n+N/2)]WNn(2r+1)=∑n=0N/2−1{[x(n)−x(n+N/2)]WNn}WN/2nr
令{x1(n)=x(n)+x(n+N/2)蝶形运算x2(n)=[x(n)−x(n+N/2)]WNn\begin{cases}x_1(n)=x(n)+x(n+N/2)& \text{蝶形运算}\\x_2(n)=\begin{bmatrix}x(n)-x(n+N/2)\end{bmatrix}W_N^n\end{cases}{x1(n)=x(n)+x(n+N/2)x2(n)=[x(n)−x(n+N/2)]WNn蝶形运算
有{X(2r)=∑n=0N/2−1x1(n)WN/2nrX(2r+1)=∑n=0N/2−1x2(n)WN/2nr\begin{cases} X(2r)=\sum_{n=0}^{N/2-1}x_1(n)W_{N/2}^{nr}\\X(2r+1)=\sum_{n=0}^{N/2-1}x_2(n)W_{N/2}^{nr}\end{cases}{X(2r)=∑n=0N/2−1x1(n)WN/2nrX(2r+1)=∑n=0N/2−1x2(n)WN/2nr

2.4 两种抽取方法的比较

时间抽取法输入的是倒位序，输出是正位序；频率抽取法相反；
两种抽取方法的基本蝶形不同；
两种抽取方法的运算量相同；
两种抽取方法的基本蝶形互为转置。

三、蝶形算法的实现

Matlab代码实现：
Butterfly_Algorithm.m

function out=butterfly_algorithm(in)
N=length(in); %输入数据的长度
M=log2(N); %蝶形运算的级数
%%求N的反序码，如1（001）的反序码为100，对应的值为4
indexs=zeros(1,N); %记录反序码值的数组
for n=0:N-1opposite=zeros(1,M); %记录反序码的数组value=0; %记录反序码的值for m=1:Ms=floor(n/2^(m-1)); %向下取整opposite(m)=mod(s,2); %计算余数value=value+opposite(m)*2^(M-m);endindexs(n+1)=value+1;
end
%%蝶形运算
out=zeros(1,N); %定义输出数组
for n=1:Nout(n)=in(indexs(n));
end
for I=1:M %按照蝶形运行的级数依次计算distance=2^(I-1); %两个点的距离for J=0:distance-1nk=J*(2^(M-I));W=exp(-i*2*pi*nk/N); %转换因子公式，其中i代表虚部for K=J+1:2^I:N %找到每一个蝶形的左上点t1=out(K);t2=out(K+distance);out(K)=t1+t2*W; %蝶形运算公式out(K+distance)=t1-t2*W;endend
end

运行结果图

对结果进行检验（公式法）

function X=test_butterfly_algorithm(x)
N=length(x);
X=[];
for k=1:Nsum=0;for n=1:Nsum=sum+x(n)*exp(-j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N)endX(k)=sum;
end

运行结果图

在误差允许的范围内，蝶形运行的结果和直接计算快速傅里叶变换的结果相同。

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蝶形算法（Butterfly Algorithm）未更完

文章目录

一、蝶形算法的作用

1.1 直接计算离散傅里叶变换（DFT）的运算量

1.2 使用蝶形算法的运算量

二、蝶形算法的原理

2.1 旋转因子WNnk的性质W_N^{nk}的性质WNnk的性质

2.2 按时间抽取基2-FFT（N=2LN=2^LN=2L）

2.3 按频率抽取基2-FFT（N=2LN=2^LN=2L）

2.4 两种抽取方法的比较

三、蝶形算法的实现

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一、蝶形算法的作用

1.1 直接计算离散傅里叶变换（DFT）的运算量

1.2 使用蝶形算法的运算量

二、蝶形算法的原理

2.1 旋转因子WNnk的性质W_N^{nk}的性质WNnk​的性质

2.2 按时间抽取基2-FFT（N=2LN=2^LN=2L）

2.3 按频率抽取基2-FFT（N=2LN=2^LN=2L）

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