指派问题匈牙利解法以及其优化

本人第一次写blog，难免有不足之处，还请大家不吝指正。

1、问题的提出

简单的说，n个人恰好分别承担n个任务，每个人对于不同的任务效率不同；我们的目的就是为使任务完成效率尽可能的高。
例如：有4个工人，要分别指派他们完成4项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少。

若用0-1整数规划问题的常规思路来解，即：

解：令 xij = 1(第 i人完成第j项工作)或0（第 i人不进行第j项工作)．于是得到一个0–1整数规划问题

Min z=15X11+18X12+21X13+24X14+19X21+23X22+22X23+18X24+26*X31
+17X32+16X33+19X34+19X41 +21X42+23X43+17*X44
使得：
Xij只能取0或者1,i,j = 1,2,3,4
最终变成一个线性规划的问题，最终将有4个x的值为1，其对应的下标便是最终的指派。

2、指派问题一般形式

设有 n 个资源（人或机器等）A1, A2, …, An，分配做 n 件事B1, B2, … Bn，要求每件事必须使用1个资源，且不同事件由不同资源完成。已知 Ai 做 Bj的效率（如劳动工时、成本、创造价值等）为cij 。问如何进行指派可使总工作效率最佳？
其中我们称Cij为效率矩阵，问题数学模型为：

3、匈牙利解法相关概念与证明

几个基础概念	解答
提出者及时间	1955年，库恩（W.W.Kuhn）利用匈牙利数学家康尼格（D.König）关于矩阵中独立零元素定理，提出了一种指派问题算法，被称为匈牙利解法。
定理1	设 C=(cij)是一个效率矩阵，若可行解x=(xij)的 n个1所对应的 n个 C=(cij)均为0，则x 是最优解。(若都为零，最终代价为0，定为最优)
定理2	设给定了以 C=(cij)为效率矩阵的指派问题 G，现将 C的元素cij 改变为:c′(ij)=c(ij)−ai−bi；ai与bi为常数c'(ij)=c(ij)-a_i-b_i；a_i与b_i为常数c′(ij)=c(ij)−ai−bi；ai与bi为常数则C’=c’ij为效率矩阵的指派问题G’与G有相同的最优解

定理1与2则为匈牙利法的根基所在，他通过一定的操作将效率矩阵的部分元素化为0，如果存在一组0，这组0满足：1、0的个数等于矩阵的阶数（即等于任务数）；2、这组0中任意两个0不同行不同列；那么这组0所对应的分配方式即为最优解
证明过程如下：

个人理解：按照指派问题的定义，在效率矩阵中每行每列都有且仅有一个数，他相对于其他数小，则最终所耗最小

这里给一个简单的例子：
例：效率矩阵C=[2357352895782239]C= \begin{bmatrix} 2& 3 & 5&7 \\ 3&5&2&8 \\ 9&5&7&8 \\ 2&2&3&9\\ \end{bmatrix} C=⎣⎢⎢⎡2392355252737889⎦⎥⎥⎤
第1，2，3，4行分别减去2，2，5，2，得到：
C‘=[0135130640230017]C‘= \begin{bmatrix} 0& 1 & 3&5 \\ 1&3&0&6 \\ 4&0&2&3 \\ 0&0&1&7\\ \end{bmatrix} C‘=⎣⎢⎢⎡0140130030215637⎦⎥⎥⎤
再对第四列减去3，得到：
C‘′=[(0)13213(0)3402(0)0(0)14]C‘'= \begin{bmatrix} (0)& 1 & 3&2 \\ 1&3&(0)&3\\ 4&0&2&(0) \\ 0&(0)&1&4\\ \end{bmatrix} C‘′=⎣⎢⎢⎡(0)140130(0)3(0)2123(0)4⎦⎥⎥⎤
则显然X11=X23=X34=X42=1，是最优解，最小费用为2+2+8+2=14
##4、匈牙利解法步骤
在这之前先解释一下什么是独立0元素个数，设矩阵C中含有0元素，那么划去C中所有0元素所需的最少直线数等于C中独立0元素的个数。

这里独立0个数为3
step 1:每行减去该行的最小数, 每列减去该列的最小数，使矩阵每行每列均有0元素
step 2:从单个0元素的行(列)开始，给0加圈，记作，然后划去所在列(行)的其它0元素，记为；重复进行，直到处理完所有列(行)的单个0元素；
若还存在没有画圈的0元素(同行或同列中的0元素多于1个)，则从剩余的0元素最少的行(列)开始，选0元素画圈，然后划掉同行同列的其它0元素，反复进行，直到所有0元素均被圈出或划掉为止；
若元素的数目m=n，则该指派问题的最优解已经得到，否则转入Step 3；

step３ 设有 m小于n 个, 找最少覆盖所有0的直线
1) 对没有的行打√
2) 对已打√行中含所在列打√
3)对已打√列中含◎所在行打√
4) 重复2)~3), 直至没有要打√的行和列为止 5) 对没有打√的行划横线, 对打√的列划竖线得到最少覆盖所有0的直线数l。
若l小于n，则转Step 4；若l=n，则转Step 2重新派；
step 4 设未被这些直线覆盖的元素中的最小值为a。对未划线的行减去a，划线的列加上a。转Step 2。

例：效率矩阵如下

step 1:每行减去该行最小元素

step 2和step 3：l<4,在没划线的元素里，最小元素为2

step 4：未划线行减去2，划线列加2，并执行step 2

所以我们得到2个最优指派方案： 1）甲—B ，乙—D，丙—E，丁—C，戊—A； 2）甲—B，乙—C，丙—E，丁—D，戊—A。所需总时间为 Min z=7+6+9+6+4=32单位时间。

5、匈牙利解法的优化

基本思想:
在进行step1时就使得step2出现的元素个数m等于矩阵阶数n的几率为1的函数值达到最大。
具体步骤如下：
step 0:观察每行最小元素个数总和r(sum)和每列最小元素个数总和c(sum)。注意：这里说的每行最小元素个数总和中最小元素是在每行的前提下！
step 1：当 r（sum）>=c（sum），则先从系数矩阵的每列减去该列的最小元素，再从所得系数矩阵的每行元素中减去该行的最小元素。反之如果当
r（sum）<=c（sum），则先从系数矩阵的每行减去该行的最小元素，再从所得系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。
其他步骤同匈牙利法。

以上例作为参考：
[1279798966671712149151466104107109]\begin{bmatrix} 12& 7 &9&7&9\\ 8& 9 &6&6&6 \\ 7&17& 12&14&9 \\ 15& 14 &6&6&10 \\ 4& 10 &7&10&9\\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎡1287154791714109612677614610969109⎦⎥⎥⎥⎥⎤
在执行step0时，第一行最小元素为7，并且有两个；第二行最小元素为6，并且有三个；第三行最小元素为7，并且有一个；第四行最小元素为6，并且有两个；第五行最小元素为4，并且有一个；所以r(sum)=2+3+1+2+1=9;同理，c(sum)=1+1+2+2+1=7;所以应该先从系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素，再从所得系数矩阵的每行元素中减去该行的最小元素。

通过step2，很容易得到：

所以我们得到2个最优指派方案： 1）甲—B ，乙—D，丙—E，丁—C，戊—A； 2）甲—B，乙—C，丙—E，丁—D，戊—A。所需总时间为 Min z=7+6+9+6+4=32单位时间。

经过1340次这种实例分析，有1267次是步骤优化后大大减少了计算量，73次是本身就无法优化的问题，计算量等于原计算量。

参考文献：
袁迁.刘舒燕.YUAN Qian.LIU Shu-yan 关于匈牙利法的优化[期刊论文]-武汉理工大学学报2007(3)