布线问题_分支限界法

问题描述:在N×MN×MN×M的方格阵列中，指定一个方格为aaa，另一个方格为bbb，问题要求找出aaa到bbb的最短布线方案（即最短路径）。布线时只能沿直线或直角，不能走斜线。黑色的单元格代表不可以通过的封锁方格。

问题分析:

将方格抽象为顶点，中心方格和相邻四个方向（上、下、左、右）能通过的方格用一条边连起来。这样，可以把问题的解空间定义为一个图。
该问题是特殊的最短路径问题，特殊之处在于用布线走过的方格数代表布线的长度，布线时每布一个方格，布线长度累加1。
只能朝上、下、左、右四个方向进行布线。

表示左、上、右、下四个方向

// direction[0] 向下
- direction[0].x = 1;
- direction[0].y = 0;
// direction[1] 向上
- direction[1].x = -1;
- direction[1].y = 0;
// direction[2] 向右
- direction[2].x = 0;
- direction[2].y = 1;
// direction[3] 向左
- direction[3].x = 0;
- direction[3].y = -1;

表示阵列的边界:用BLACK去表示

布线问题的复杂度分析：由于每个方格成为活结点进入活结点队列最多一次，因此，活结点队列最多有n*m个结点。如果扩展每个结点需要O(1)的时间，因此，算法共耗时O(nm)。构造相应的最短路距离需要O(L)的时间，其中L是最短布线路径的长度。

具体代码如下:

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <stack>using namespace std;// 宏定义黑色格子的数值
#define BLACK -2
#define NUM_DIRECTION 4// 格子结构体
struct grid
{int x;int y;grid(int x = 0, int y = 0){this->x = x;this->y = y;}
};// n1 : 棋盘的行 n2 : 棋盘的列
int n1 = 0, n2 = 0;
// a : 棋盘
int **a = NULL;
// path : 记录路径的数组
int **path = NULL;
// 开始格子的横纵坐标
int start_x = 0, start_y = 0;
// 结束格子的横纵坐标
int end_x = 0, end_y = 0;
// 方向数组
grid direction[NUM_DIRECTION];// 显示棋盘
void DisPlayGrid()
{printf("---------------------------------------------------\n");printf("棋盘如下 :\n");for (int i = 1; i <= n1; i++){for (int j = 1; j <= n2; j++){if (i == start_x && j == start_y){printf("From\t");continue;}if (i == end_x && j == end_y){printf("To\t");continue;}printf("%d\t", a[i][j]);}printf("\n");}printf("---------------------------------------------------\n");
}// 显示路径数组
void DisPlayPath()
{printf("---------------------------------------------------\n");for (int i = 1; i <= n1; i++){for (int j = 1; j <= n2; j++){printf("%d\t", path[i][j]);}printf("\n");}printf("---------------------------------------------------\n");
}// 绘制路径
void DrawPath()
{printf("---------------------------------------------------\n");int x = end_x, y = end_y;// 寻找路径的时候是逆序的，这里需要进行逆序处理stack<grid> st;st.push(grid(x, y));while (path[x][y] != 0){// 对四个方向进行探测for (int i = 0; i < NUM_DIRECTION; i++){int index_x = x + direction[i].x;int index_y = y + direction[i].y;// 找到上一个可能走过来的格子if (path[index_x][index_y] == path[x][y] - 1){x = index_x;y = index_y;// 进栈st.push(grid(x, y));break;}}}printf("路径如下 :\n");// 输出路径printf("(%d,%d)", st.top().x, st.top().y);st.pop();while (st.empty() == false){printf(" -> (%d,%d)", st.top().x, st.top().y);st.pop();}printf("\n---------------------------------------------------\n");
}int main()
{// direction[0] 向下direction[0].x = 1;direction[0].y = 0;// direction[1] 向上direction[1].x = -1;direction[1].y = 0;// direction[2] 向右direction[2].x = 0;direction[2].y = 1;// direction[3] 向左direction[3].x = 0;direction[3].y = -1;printf("请输入棋盘的大小为 n1 x n2\n");scanf("%d%d", &n1, &n2);a = new int *[n1 + 2];path = new int *[n1 + 2];for (int i = 0; i < n1 + 2; i++){a[i] = new int[n2 + 2];path[i] = new int[n2 + 2];// 初始化的时候棋盘全部置零memset(a[i], 0, sizeof(int) * (n2 + 2));// 初始化的时候路径全部置为-1memset(path[i], -1, sizeof(int) * (n2 + 2));}// 对棋盘进行外面的黑色格子包裹for (int i = 0; i < n1 + 2; i++){a[i][0] = BLACK;a[i][n2 + 1] = BLACK;}for (int i = 0; i < n2 + 2; i++){a[0][i] = BLACK;a[n1 + 1][i] = BLACK;}// 黑色格子的数量int cnt = 0;printf("请输入棋盘中黑色单元格的数量 ：\n");scanf("%d", &cnt);printf("请输入黑色单元格横纵坐标\n");int x = 0, y = 0;for (int i = 0; i < cnt; i++){scanf("%d%d", &x, &y);a[x][y] = BLACK;}printf("请输入开始单元格的坐标：\n");scanf("%d%d", &start_x, &start_y);if (start_x < 1 || start_x > n1 || start_y < 1 || start_y > n2){printf("输入的开始单元格横纵坐标异常\n");return -1;}path[start_x][start_y] = 0;a[start_x][start_y] = BLACK;printf("请输入目的单元的坐标：\n");scanf("%d%d", &end_x, &end_y);if (end_x < 1 || end_x > n1 || end_y < 1 || end_y > n2){printf("输入的目的单元格横纵坐标异常\n");return -2;}// 显示棋盘信息DisPlayGrid();queue<grid> q;// 标记是否能找到出口bool flag = false;// 这里采取的是广度优先搜索的方式进行的，使用队列q.push(grid(start_x, start_y));while (q.empty() == false){grid tmp = q.front();q.pop();if (tmp.x == end_x && tmp.y == end_y){printf("可以到达终点\n");flag = true;break;}// 四个方向进行探测for (int i = 0; i < NUM_DIRECTION; i++){int index_x = tmp.x + direction[i].x;int index_y = tmp.y + direction[i].y;if (a[index_x][index_y] != BLACK){q.push(grid(index_x, index_y));// 入队的直接让它变为黑色格子，避免再次访问a[index_x][index_y] = BLACK;// 路径标记从哪里走过来的path[index_x][index_y] = path[tmp.x][tmp.y] + 1;}}}if (flag){printf("%d\n", path[end_x][end_y]);DisPlayPath();DrawPath();}else{printf("无法到达终点\n");}return 0;
}/*
9 7
13
1 5
2 3
3 3
3 5
3 6
4 3
5 6
6 4
6 5
6 6
7 6
8 3
8 5
3 2
6 7
*//*
3 3
3
1 2
2 2
3 2
1 1
3 3
*/

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