TAOCP中最大公约数算法理解

TAOCP中，介绍了一个求取最大公约数的算法。假设有两个整数m,n，那么求取两个整数最大公约数的方法如下：

E1：m除以n，余数为r；

E2：如果r=0，那么最大公约数就是n；否则，进入E3；

E3：n的值给m，r的值给n，然后返回E1继续。

算法的主要难点在于：如何论证E3生成的整数对儿的最大公约数为什么与初始的m,n最大公约数一致。

【推到过程】

经过E1，我们可以用以下表达式来表示：

m= qn + r（q，r为整数）

如果此时r=0，那么算法结束，n显示是最大公约数。假如r ≠ 0，那么可以得出如下结论：

1，m，n的所有公约数一定是m – qn = r的约数；

2，n，r 的所有公约数一定是qn + r = m的约数。

这样，{m,n}的公约数结合与{n,r}的公约数集合一致，也就是E3不会改变最终的结果。上面的这段是老爷子书中给出的解释，我大致进行了一下翻译。但是顺着这个思维理解了很久也没能够理解。

其实，我们可以退回去理解一下。从第一条看，r的约数肯定包含了我们要求取的对象，也就是最大公约数肯定是r的约数的子集。而最大公约数同样是m或者n的约数的子集。这样，最大公约数肯定也是{n,r}整数对儿的最大公约数。

其实，我个人觉得关键的理解点还是去看最大公约数存在于什么地方，每次的集合约数是不是包含了最大公约数的存在。

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