大二下：概率论与数理统计复习 期末试题A
2024-05-09 21:08:27
大二下：概率论与数理统计复习 导航页：https://blog.csdn.net/COCO56/article/details/100152856
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- 一、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
- 二、单项选择题（每小题4 分，共20 分）
- 四、计算题（第12-14 题，每题8 分；第15-16 题，每题10 分；第17 题12 分；共60 分）
一、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
- 已知P(A)=0.8,P(A−B)=0.4,则P(AB‾)=0.6‾.已知P(A)=0.8, P(A-B)=0.4 ,则 P(\overline{AB})=\underline{\ 0.6\ }.已知P(A)=0.8,P(A−B)=0.4,则P(AB)= 0.6 .
解：因为P(A−B)=P(A)–P(AB)，所以P(AB)=0.4，进而P(AB‾)=1−P(AB)=0.6解：因为P(A-B) = P(A) – P(AB)，所以P(AB) = 0.4，进而P(\overline{AB}) = 1-P(AB) = 0.6解：因为P(A−B)=P(A)–P(AB)，所以P(AB)=0.4，进而P(AB)=1−P(AB)=0.6 - 设X服从二项分布b(3,0.6),则E(X)=1.8‾.设 X 服从二项分布 b(3, 0.6) ,则E(X)=\underline{\ 1.8\ }.设X服从二项分布b(3,0.6),则E(X)= 1.8 .
解：二项分布B(n,p)的数学期望为：np，方差为：np(1−p)解：二项分布B(n,p)的数学期望为：np，方差为：np(1-p)解：二项分布B(n,p)的数学期望为：np，方差为：np(1−p) - 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={axy2,0≤x≤2,0≤y≤10,其他f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}{a x y^{2},} & {0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1} \\ {0,} & 其他\end{array}\right.f(x,y)={axy2,0,0≤x≤2,0≤y≤1其他则a=32‾a=\underline{\ \frac{3}{2}\ }a= 23
解：
1=∫02∫01axy2dydx1=\int_0^2\int_0^1axy^2dydx1=∫02∫01axy2dydx
1=∫02axy33∣01dx1=\int_0^2\frac{axy^3}{3}|_0^1dx1=∫023axy3∣01dx
1=∫02ax3dx1=\int_0^2\frac{ax}{3}dx1=∫023axdx
1=ax26∣021=\frac{ax^2}{6}|_0^21=6ax2∣02
4a6=1\frac{4a}{6}=164a=1
a=64=32a=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}a=46=23 - 设X∼tn,则X2∼F1,n‾.设X\sim t_n ,则X^2\sim\underline{\ F_{1,n}\ }.设X∼tn,则X2∼ F1,n .
- 设总体X∼B(n,p)X\sim B(n,p)X∼B(n,p),X1,…Xn,X_1,\ …X_n,X1, …Xn是从总体XXX中抽取的一个样本,则参数p的矩估
量为p^=X‾n‾.\hat{p}=\underline{\ \frac{\overline{X}}{n}\ }.p^= nX .
解：二项分布B(n,p)的数学期望为np，则np=X‾⇒p^=X‾n解：二项分布B(n,p)的数学期望为np，则np=\overline{X}\Rightarrow\hat{p}=\frac{\overline{X}}{n}解：二项分布B(n,p)的数学期望为np，则np=X⇒p^=nX - 设X1,X2,...XnX_1,X_2,\ ...\ X_nX1,X2, ... Xn为来自正态总体N(μ,4)N(\mu,4)N(μ,4)的简单样本,则均值μ\muμ的置信系数为1−α1-\alpha1−α的置信区间为[X‾−2nZα2,X‾+2nZα2]‾.\underline{\ [\overline{X}-\frac{2}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}}, \overline{X}+\frac{2}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}}] \ }. [X−n2Z2α,X+n2Z2α] .
解：设X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nX1,X2,...,Xn为来自正态总体N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)N(μ,σ2)的简单样本，σ2\sigma^2σ2已知，则均值μ\muμ的置信系数为1−α1-\alpha1−α的置信区间为[X‾−σnZα2,X‾+σnZα2]‾.\underline{\ [\overline{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}}, \overline{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}}] \ }. [X−nσZ2α,X+nσZ2α] .
二、单项选择题（每小题4 分，共20 分）
- 对于任意两事件A与B ,下列命题正确的是(B)
A. AB≠∅,则A与B一定独立AB\ne\varnothing ,则A与B 一定独立AB=∅,则A与B一定独立
B. AB≠∅,则A与B有可能独立AB\ne\varnothing ,则A 与B 有可能独立AB=∅,则A与B有可能独立
C. AB=∅,则A与B一定独立AB=\varnothing, 则A与B一定独立AB=∅,则A与B一定独立
D. AB=∅,则A与B一定不独立AB=\varnothing, 则A与B一定不独立AB=∅,则A与B一定不独立
解：B正确.解：B 正确.解：B正确.
定义：如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与B相互独立。如果A=Ф,则P(AB)=0=P(A)P(B),于是A,B相互独立,也就是不可能事件与任何事件独立.因此D不正确.定义：如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与B相互独立。 如果A=Ф,则P(AB)=0=P(A)P(B),于是A,B相互独立,也就是不可能事件与任何事件独立. 因此D不正确.定义：如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与B相互独立。如果A=Ф,则P(AB)=0=P(A)P(B),于是A,B相互独立,也就是不可能事件与任何事件独立.因此D不正确. - 设X1,X2,X3均服从[0,2]上的均匀分布,则E(−X1+9X2+3X3)为(C)设X_1,X_2,X_3均服从[0,2]上的均匀分布,则E(-X_1+9X_2+3X_3)为(C)设X1,X2,X3均服从[0,2]上的均匀分布,则E(−X1+9X2+3X3)为(C)
A.9B.10C.11D.13A.\ 9\qquad B.\ 10\qquad C.\ 11\qquad D.\ 13A. 9B. 10C. 11D. 13
解：解：解：
均匀分布U(a,b)的数学期望为a+b2，则E(−X1+9X2+3X3)=−E(X1)+9E(X2)+3E(X3)=−1+9+3=11均匀分布U(a,b)的数学期望为\frac{a+b}{2}，则E(-X_1+9X_2+3X_3)=-E(X_1)+9E(X_2)+3E(X_3)=-1+9+3=11均匀分布U(a,b)的数学期望为2a+b，则E(−X1+9X2+3X3)=−E(X1)+9E(X2)+3E(X3)=−1+9+3=11 - 设X,Y为随机变量,若E(XY)=E(X)+E(Y),则有的(A).设 X ,Y 为随机变量,若E(XY)=E(X)+E(Y) ,则有的(A).设X,Y为随机变量,若E(XY)=E(X)+E(Y),则有的(A).
A.Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)B.Var(XY)=Var(X)Var(Y)C.X和Y相互独立D.X和Y不独立\begin{aligned} &A.\ Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) &B.\ Var(XY)=Var(X)Var(Y)\\ &C.\ X 和Y 相互独立 &D.\ X 和Y 不独立 \end{aligned}A. Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)C. X和Y相互独立B. Var(XY)=Var(X)Var(Y)D. X和Y不独立
解：
Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y),Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y),Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)
∵E(XY)=E(X)+E(Y)∴Cov(X,Y)=0⇒Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\because E(XY)=E(X)+E(Y)\therefore Cov(X,Y)=0\Rightarrow Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)∵E(XY)=E(X)+E(Y)∴Cov(X,Y)=0⇒Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) - 设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为Fx(X)和Fy(Y),则随机变量Z=max(X,Y)的分布函数为(D).设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为F_x(X)和F_y(Y),则随机变量 Z=max(X,Y)的分布函数为(D).设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为Fx(X)和Fy(Y),则随机变量Z=max(X,Y)的分布函数为(D).
A. 1−FX(x)FY(y)B.1−[1−FX(x)]⋅[1−FY(y)]C. [1−FX(x)]⋅[1−FY(y)]D.FX(x)FY(y)\begin{array}{ll}{\text { A. } 1-F_{X}(x) F_{Y}(y)} & {B.\ 1-\left[1-F_{X}(x)\right] \cdot\left[1-F_{Y}(y)\right]} \\ {\text { C. }\left[1-F_{X}(x)\right] \cdot\left[1-F_{Y}(y)\right]} & {D.\ F_X(x)F_Y(y)}\end{array} A. 1−FX(x)FY(y) C. [1−FX(x)]⋅[1−FY(y)]B. 1−[1−FX(x)]⋅[1−FY(y)]D. FX(x)FY(y)
解：解：解：
设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为Fx(X)和Fy(Y),则随机变量Z=min(X,Y)的分布函数为:1−[1−FX(x)]⋅[1−FY(y)]，Z=max(X,Y)的分布函数为:FX(x)FY(y)设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为F_x(X)和F_y(Y),则随机变量 Z=min(X,Y)的分布函数为:1-\left[1-F_{X}(x)\right] \cdot\left[1-F_{Y}(y)\right]，Z=max(X,Y)的分布函数为:F_X(x)F_Y(y)设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为Fx(X)和Fy(Y),则随机变量Z=min(X,Y)的分布函数为:1−[1−FX(x)]⋅[1−FY(y)]，Z=max(X,Y)的分布函数为:FX(x)FY(y)
四、计算题（第12-14 题，每题8 分；第15-16 题，每题10 分；第17 题12 分；共60 分）
- 设两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.1，第二台出现废品的概率为0.2，已知两台机床生产的成品比例为1:2，加工出来的零件放在一起，求：在仓库中随机地取一只成品，若已知取到的是次品，问此次品是由第一台机床生产的概率为多少？
解：解：解：
设A={零件是废品},B1={零件由第一台机床加工},B2={零件由第二台机床加工}，则设A=\{零件是废品\}, B_1=\{零件由第一台机床加工\}, B_2=\{零件由第二台机床加工\}，则设A={零件是废品},B1={零件由第一台机床加工},B2={零件由第二台机床加工}，则
P(B1)=13,P(B2)=23P(A∣B1)=0.01,P(A∣B2)=0.02\begin{aligned} &P(B_1)=\frac{1}{3},&P(B_2)=\frac{2}{3}\\ &P(A|B_1)=0.01,&P(A|B_2)=0.02 \end{aligned}P(B1)=31,P(A∣B1)=0.01,P(B2)=32P(A∣B2)=0.02
由贝叶斯公式，得由贝叶斯公式，得由贝叶斯公式，得
P(A∣B1)=P(B1)P(A∣B1)P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2)=13×110013×1100+23×2100=15=0.2\begin{aligned} P(A|B_1)&=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)}\\ &=\frac{\frac{1}{3}\times\frac{1}{100}}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{100}+\frac{2}{3}\times\frac{2}{100}}\\ &=\frac{1}{5}=0.2 \end{aligned}P(A∣B1)=P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2)P(B1)P(A∣B1)=31×1001+32×100231×1001=51=0.2
∴若已知取到的是次品，则此次品是由第一台机床生产的概率为0.2\therefore 若已知取到的是次品，则此次品是由第一台机床生产的概率为0.2∴若已知取到的是次品，则此次品是由第一台机床生产的概率为0.2 - 设连续型随机变量X的分布函数为设连续型随机变量X的分布函数为设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={0,x<1lnx,1≤x<e1,x≥eF(x)=\left\{\begin{array}{cc}{0,} & {x<1} \\ {\ln x,} & {1 \leq x<e} \\ {1,} & {x \geq e}\end{array}\right.F(x)=⎩⎨⎧0,lnx,1,x<11≤x<ex≥e，求：，求：，求：
（1）P{2<x≤3}．（2）X的概率密度函数f(x).（1）P\{2<x\le3\}．（2） X 的概率密度函数 f (x).（1）P{2<x≤3}．（2）X的概率密度函数f(x).
解：解：解：
(1)P{2<x≤3}=1−ln2(1)P\{2<x\le3\}=1-\ln2(1)P{2<x≤3}=1−ln2
(2)∵(lnx)′=1x(2)\because (\ln x)'=\frac1x(2)∵(lnx)′=x1
∴f(x)={1x,1≤x≤e0,其他\therefore f(x)=\left\{\begin{array}{cc}{\frac1x,} & {1 \le x\le e} \\ {0,} & {其他}\end{array}\right.∴f(x)={x1,0,1≤x≤e其他
注：- 分布函数是右连续的（x的区间左闭右开），一般左边要考虑等号。
- 密度函数是无所谓的，等号可加可不加，一般不用加。若加，应和分布函数保持一致。
为什么无所谓？这是由于概率密度函数的研究对象是连续型的随机变量，我们知道连续型随机变量的单点概率为0。
单点概率为0：P{X=a}=0(3)单点概率为0：P\{X=a\}=0 \tag{3}单点概率为0：P{X=a}=0(3)
P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}=P{a<X<b}=F(b)−F(a)(4)P\{a<X\le b\}=P\{a\le X \le b\}=P\{a<X<b\}=F(b)-F(a) \tag{4}P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}=P{a<X<b}=F(b)−F(a)(4)
P{X>a}=1−F(a)(5)P\{X>a\}=1-F(a) \tag{5}P{X>a}=1−F(a)(5)
如果细究，则对于分段函数的分界点处，需要看看左右导数是否相等，相等，则有导数，则f（x）在分界点处取等号，不相等，则无导数，f（x）在分界点处不取等号。
例如此题，F（x）在x=1点处的左导数为0，右导数为1，左右导数不相等，所以在x=1点处不可导，所以1/x的范围就没有x=1这点，而x=e这点左导数为1/e，右导数为0，左右导数也不相等，所以也不可导，所以也没有等于e这点。
- 设随机变量X∼N(0,1),试求随机变量Y=2X−1的概率密度函数．设随机变量 X\sim N(0,1) ,试求随机变量Y=2X-1的概率密度函数．设随机变量X∼N(0,1),试求随机变量Y=2X−1的概率密度函数．
解：解：解：
∵正态分布\because正态分布∵正态分布N(μ,σ2)的概率密度函数为：N(\mu, \sigma^2)的概率密度函数为：N(μ,σ2)的概率密度函数为：f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2,(−∞<x<+∞)\LARGE f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \ (-\infty<x<+\infty)f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2, (−∞<x<+∞)，标准正态分布，标准正态分布，标准正态分布N(0,1)的概率密度函数为：N(0,1)的概率密度函数为：N(0,1)的概率密度函数为：ϕ(x)=12πe−x22,(−∞<x<+∞)\LARGE \phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},\ (-\infty<x<+\infty)ϕ(x)=2π1e−2x2, (−∞<x<+∞)
∴fX(x)=12πe−x22,(−∞<x<+∞)\therefore \LARGE f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},\ (-\infty<x<+\infty)∴fX(x)=2π1e−2x2, (−∞<x<+∞)
∴FY(y)=P{Y≤y}=P{2X−1≤y}=P{X≤y+12}=FX(y+12)\therefore\LARGE F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{2X-1\le y\}=P\{X\le\frac{y+1}{2}\}=F_X(\frac{y+1}{2})∴FY(y)=P{Y≤y}=P{2X−1≤y}=P{X≤2y+1}=FX(2y+1)
∴fY(y)=fX(y+12)×(y+12)′=12fX(y+12)\therefore \LARGE f_Y(y)=f_X(\frac{y+1}{2})\times(\frac{y+1}{2})'=\frac{1}{2}f_X(\frac{y+1}{2})∴fY(y)=fX(2y+1)×(2y+1)′=21fX(2y+1)
=12×12πe−(y+12)22,(−∞<x<+∞)\qquad\qquad\quad\ \ \LARGE=\frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\frac{y+1}{2})^2}{2}},\ (-\infty<x<+\infty) =21×2π1e−2(2y+1)2, (−∞<x<+∞)
=122πe−(y+1)28,(−∞<x<+∞)\qquad\qquad\quad\ \ \LARGE=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(y+1)^2}{8}},\ (-\infty<x<+\infty) =22π1e−8(y+1)2, (−∞<x<+∞) - 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={4.8y(2−x),0≤x≤1,0≤y≤x0,其他,求边缘概率密度函数fX(x),fY(y).设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}{4.8 y(2-x),} & {0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x} \\ {0,} & 其他\end{array}\right.,求边缘概率密度函数f_X(x),f_Y(y).设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={4.8y(2−x),0,0≤x≤1,0≤y≤x其他,求边缘概率密度函数fX(x),fY(y).
解1：解1：解1：
解2：解2：解2：
Y（y）为什么从y到1?
- 设随机变量X∼N(0,4),Y∼U(0,4),并且X与Y相互独立,求Var(X+Y)和Var(2X−3Y).设随机变量 X\sim N(0,4) ,Y\sim U(0,4) ,并且X与Y相互独立,求Var(X+Y)和Var(2X-3Y) .设随机变量X∼N(0,4),Y∼U(0,4),并且X与Y相互独立,求Var(X+Y)和Var(2X−3Y).
∵正态分布N(μ,σ2)的方差为σ2，均匀分布U(a,b)的方差为(b−a)212\because 正态分布N(\mu,\sigma^2)的方差为\sigma^2，均匀分布U(a,b)的方差为\LARGE\frac{(b-a)^2}{12}∵正态分布N(μ,σ2)的方差为σ2，均匀分布U(a,b)的方差为12(b−a)2
∴X的方差为4，Y的方差为43\therefore X的方差为4，Y的方差为\LARGE\frac{4}{3}∴X的方差为4，Y的方差为34
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=163Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=\LARGE\frac{16}{3}Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=316
Var(2X−3Y)=Var(2X)+Var(3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=16+12=28Var(2X-3Y)=Var(2X)+Var(3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=16+12=28Var(2X−3Y)=Var(2X)+Var(3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=16+12=28
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