【0x50「动态规划」例题】LCIS【最长公共上升子序列】

题意：

给出两个数列 AAA 和 BBB ，输出两个数列的最长公共上升子序列的长度。

思路：

我们可以仿照最长公共子序列的状态定义，来给出 LCISLCISLCIS 的状态定义，dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j] 表示数列 AAA 中 [1,i][1,i][1,i] 与数列 BBB 中 [1,j][1,j][1,j] 的以 B[j]B[j]B[j] 为结尾的最长公共子序列长度。

因此我们可以给出一个 O(n3)O(n^3)O(n3) 复杂度的算法，当A[i]=B[j]A[i] = B[j]A[i]=B[j]时，dp[i][j]=maxx<jandB[x]<B[j]dp[i−1][x]+1dp[i][j] = max_{x < j \ and \ B[x] < B[j]\ } dp[i-1][x] + 1dp[i][j]=maxx<j and B[x]<B[j] dp[i−1][x]+1，而A[i]!=B[j]A[i] \ != B[j]A[i] !=B[j]时，dp[i][[j]=dp[i−1][j]dp[i][[j] = dp[i-1][j]dp[i][[j]=dp[i−1][j]，由此即可完成这个 O(n3)O(n^3)O(n3) 的算法。

由此我们需要对这个算法进行优化，我们可以发现时间的浪费主要在于 A[i]=B[j]A[i] = B[j]A[i]=B[j] 时，我们需要到前面去找一个值来更新dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]，但是条件却只是 x<jandB[x]<B[j]x < j \ and \ B[x] < B[j]x<j and B[x]<B[j] ，即 x<jandB[x]<A[i]x < j \ and \ B[x] < A[i]x<j and B[x]<A[i]，由此我们可以发现当 iii 确定时，更新 jjj 时找到的 dp[i][x]dp[i][x]dp[i][x] 可以在更新 j+1j+1j+1 时继续利用，因此代码就缩减到了 O(n2)O(n^2)O(n2)，即可完成本题。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x1,x2) cout << x1 << ": " << x2 << endl;
#define LOG2(x1,x2,y1,y2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << endl;
typedef long long ll;
typedef double db;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;
const int N = 5000;int n;
int a[N],b[N],dp[N][N];//dp[i][j]: a序列1-i，b序列1-j，以b[j]为结尾的最长公共上升子序列int main()
{scanf("%d",&n);rep(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);rep(i,1,n) scanf("%d",&b[i]);int ans = 0;rep(i,1,n){int val = 0;rep(j,1,n){if(b[j] == a[i]) dp[i][j] = val+1;else dp[i][j] = dp[i-1][j];if(b[j] < a[i]) val = max(val,dp[i-1][j]);ans = max(ans,dp[i][j]);}}printf("%d\n",ans);return 0;
}

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